La circunferencia
Oye se ve que sabes bastante de matemáticas espero entenderte por que a otros casi no les entiendo nada.
1.-Encontrar la ecuacon de la circunferencia en la que los puntos A(-2,1) y B(6,5) son los extremos de uno de sus diámetros.
2.- Por método de completar cuadrados, hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:
4x al cuadrado + 4y al cuadrado + 24x
- 20y + 45
3.- Encontrar las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las siguientes condiciones:
A.- Tiene su centro en (-4,-2) y pasa por (1,3).
B.- Tiene su centro (-5,6) y es tangente al eje X
C.- Tiene su centro en (3,4) y es tangente a la recta cuya ecuación es 4x-2y+10=0.
La ultima es la que más se me complica. Y esta otra también.
4.- En cada ejercicio hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada, y discutir el lugar geométrico.
1.- Y al cuadrado - 12x = 0
2.- X al cuadrado - 12y = 0
3.- Y al cuadrado + 8x = 0
4.- X al cuadrado + 2y = 0
Son todas gracias me gustaría que me lo explicaras como de secundaria para enterderte mejor.
Soy de preparatoria pero casi no le entiendo dime que despejas, multiplicas, restas, sacas raíz cuadrada, ¿o qué? Poco a poco.
1.-Encontrar la ecuacon de la circunferencia en la que los puntos A(-2,1) y B(6,5) son los extremos de uno de sus diámetros.
2.- Por método de completar cuadrados, hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:
4x al cuadrado + 4y al cuadrado + 24x
- 20y + 45
3.- Encontrar las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las siguientes condiciones:
A.- Tiene su centro en (-4,-2) y pasa por (1,3).
B.- Tiene su centro (-5,6) y es tangente al eje X
C.- Tiene su centro en (3,4) y es tangente a la recta cuya ecuación es 4x-2y+10=0.
La ultima es la que más se me complica. Y esta otra también.
4.- En cada ejercicio hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada, y discutir el lugar geométrico.
1.- Y al cuadrado - 12x = 0
2.- X al cuadrado - 12y = 0
3.- Y al cuadrado + 8x = 0
4.- X al cuadrado + 2y = 0
Son todas gracias me gustaría que me lo explicaras como de secundaria para enterderte mejor.
Soy de preparatoria pero casi no le entiendo dime que despejas, multiplicas, restas, sacas raíz cuadrada, ¿o qué? Poco a poco.
1 Respuesta
Respuesta de dudoso2
1
Te respondo y perdona por la demora de respuesta.
En forma general, la ecuación de la circunferencia que tiene como centro a (x0, y0) y radio r, es la siguiente:
(x-x0)^2+(y-y0)^2 = r^2.
1.- Debemos hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A y B, los cuales son los extremos del diámetro.
Por lo tanto, primero debemos hallar el centro de la circunferencia que es el punto medio del diámetro, o lo que es lo mismo, el punto medio del segmento que les une A y B.
Entonces, el cálculo se realizaría del modo siguiente:
(Recuerda que si A(x1, y1) y B(x2, y2) son los extremos de un segmento, el punto medio del mismo es:
((x1+x2)/2,(y1+y2)/2 ).
Punto medio =
C = ((6+(-2))/2,(1+5)/2)=
(2,3).
Por otro lado, debemos hallar el radio, la mitad del diametro.
¿Cual es la longitud del diametro? Es el módulo del segmento AB.
Por lo que |AB| =
raiz((6+2)^2+(5-1)^2)=
raiz(64+16)= raiz(80).
Luego r = raiz(80)/2.
Entonces la ecuacion de la circunferencia es:
(x-2)^2+(y-3)^2= (raiz(80)/2)^2 =
(x-2)^2+(y-3)^2= 80/4 = 20.
La solucion es:
(x-2)^2+(y-3)^2= 20.
En forma general, la ecuación de la circunferencia que tiene como centro a (x0, y0) y radio r, es la siguiente:
(x-x0)^2+(y-y0)^2 = r^2.
1.- Debemos hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A y B, los cuales son los extremos del diámetro.
Por lo tanto, primero debemos hallar el centro de la circunferencia que es el punto medio del diámetro, o lo que es lo mismo, el punto medio del segmento que les une A y B.
Entonces, el cálculo se realizaría del modo siguiente:
(Recuerda que si A(x1, y1) y B(x2, y2) son los extremos de un segmento, el punto medio del mismo es:
((x1+x2)/2,(y1+y2)/2 ).
Punto medio =
C = ((6+(-2))/2,(1+5)/2)=
(2,3).
Por otro lado, debemos hallar el radio, la mitad del diametro.
¿Cual es la longitud del diametro? Es el módulo del segmento AB.
Por lo que |AB| =
raiz((6+2)^2+(5-1)^2)=
raiz(64+16)= raiz(80).
Luego r = raiz(80)/2.
Entonces la ecuacion de la circunferencia es:
(x-2)^2+(y-3)^2= (raiz(80)/2)^2 =
(x-2)^2+(y-3)^2= 80/4 = 20.
La solucion es:
(x-2)^2+(y-3)^2= 20.
2.-
Completar cuadrados.
Ten en cuenta que:
(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab
(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab
Queremos hallar el centro y el radio de la circunferencia
dada:
4x^2+4y^2+24x-20y+45=0
Dividimos entre 4, ya que necesitamos tener los coeficientes de x^2 e y^2 a 1.
Por tanto:
x^2+y^2+6x-5y+(45/4)=0
Ordenando:
x^2+6x+y^2-5y+(45/4)=0
Fijándonos en x^2+6x y en el desarrollo de la suma al cuadrado (tenemos la suma porque el coeficiente de x es positivo), que:
a = x, y 2ab = 6x-> 2b = 6-> b= 3.
POr tanto, x^2+6x es casi (x+3)^2, quitando el 3^2.
Luego:
x^2+6x = x^2+6x+9 - 9 =
= (x+3)^2-9
Del mismo modo,
y^2-5y -> a = y, -2ab = -5y;
-2b = -5; b = 5/2
Fijandonos en el cuadrado de la resta:
(y-(5/2))^2 = y^2-5y+(25/4)
Luego:
y^2-5y = y^2-5y+(25/4)- (25/4)
=(y-(5/2))^2-(25/4)
Por tanto:
la ecuación quedaría:
(x+3)^2-9+(y-(5/2))^2-(25/4)+(45/4)=0
Luego:
(x+3)^2+(y-(5/2))^2 = 4
Luego el centro sería (-3,5/2) y el radio 2.
Completar cuadrados.
Ten en cuenta que:
(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab
(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab
Queremos hallar el centro y el radio de la circunferencia
dada:
4x^2+4y^2+24x-20y+45=0
Dividimos entre 4, ya que necesitamos tener los coeficientes de x^2 e y^2 a 1.
Por tanto:
x^2+y^2+6x-5y+(45/4)=0
Ordenando:
x^2+6x+y^2-5y+(45/4)=0
Fijándonos en x^2+6x y en el desarrollo de la suma al cuadrado (tenemos la suma porque el coeficiente de x es positivo), que:
a = x, y 2ab = 6x-> 2b = 6-> b= 3.
POr tanto, x^2+6x es casi (x+3)^2, quitando el 3^2.
Luego:
x^2+6x = x^2+6x+9 - 9 =
= (x+3)^2-9
Del mismo modo,
y^2-5y -> a = y, -2ab = -5y;
-2b = -5; b = 5/2
Fijandonos en el cuadrado de la resta:
(y-(5/2))^2 = y^2-5y+(25/4)
Luego:
y^2-5y = y^2-5y+(25/4)- (25/4)
=(y-(5/2))^2-(25/4)
Por tanto:
la ecuación quedaría:
(x+3)^2-9+(y-(5/2))^2-(25/4)+(45/4)=0
Luego:
(x+3)^2+(y-(5/2))^2 = 4
Luego el centro sería (-3,5/2) y el radio 2.
3.-
a)
Falta sacar el radio. Para ello, basta conocer la longitud del segmento que componen los puntos (-4,-2) y(1,3), ese sería el radio.
longitud = raiz((-4-1)^2+(-2-3)^2)= raiz(25+25)=raiz(50).
Luego la ecuacion se escribiría:
(x+4)^2+(y-1)^2=(raiz(50))^2 =
= 50.
b)
Para que sea tangente al eje por, basta con hallar el punto de corte del diámetro que pasa por el centro y es perpendicular al eje por y hallar, tal y como lo hemo hecho en a), hallar la longitud.
La ecuación del diámetro es de la forma por = que, donde que es contante, ya que e una recta perpendicular al eje x. Dado que pasa por (-5,6), la ecuación es x = -5. El punto de corte de esta recta con el eje x es (-5,0) y la longitud (el radio de la circunferencia) es la siguiente:
longitud = raiz((-5+5)^2+(6-0)^2) = raiz(36)=6.
Luego:
La ecuación es:
(x+5)^2+(y-6)^2 = 6^2 =36.
c) Te respondo más tarde lo que queda, ahora tengo prisa.
a)
Falta sacar el radio. Para ello, basta conocer la longitud del segmento que componen los puntos (-4,-2) y(1,3), ese sería el radio.
longitud = raiz((-4-1)^2+(-2-3)^2)= raiz(25+25)=raiz(50).
Luego la ecuacion se escribiría:
(x+4)^2+(y-1)^2=(raiz(50))^2 =
= 50.
b)
Para que sea tangente al eje por, basta con hallar el punto de corte del diámetro que pasa por el centro y es perpendicular al eje por y hallar, tal y como lo hemo hecho en a), hallar la longitud.
La ecuación del diámetro es de la forma por = que, donde que es contante, ya que e una recta perpendicular al eje x. Dado que pasa por (-5,6), la ecuación es x = -5. El punto de corte de esta recta con el eje x es (-5,0) y la longitud (el radio de la circunferencia) es la siguiente:
longitud = raiz((-5+5)^2+(6-0)^2) = raiz(36)=6.
Luego:
La ecuación es:
(x+5)^2+(y-6)^2 = 6^2 =36.
c) Te respondo más tarde lo que queda, ahora tengo prisa.
4.-
Primero, debo decirte que todas las ecuaciones, las 4, representan parábolas. Veamos lo que sucede por partes.
Por definición, la parábola se define como el lugar geométrico de los puntos P tales que d(F, P) = d(P, d) donded F es el foco, y d es la directriz.
Teniendo en cuenta esto, veamos cual es, de forma general, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
Para ello, diferenciamos dos casos:
- La ecuación de la parábola es del tipo y^2 = 2px, entonces, el foco será F(p/2,0) y la ecuación de la directriz por = -p/2, donde p es la distancia entre el foco y la directriz.
- Si es del tipo x^2 = 2py,
F(0,p/2) y d: y = -p/2.
1)
y^2-12x= 0.
Si despejamos la incógnita de primer grado, en ete caso la x, se tiene que:
y^2-12x =0-> x = y^2/12.
Es una parábola que es abierta hacia la derecha, pues la incógnita despejada es la por y porque el signo de y^2 es positivo.
Luego, teniendo en cuenta las notas aclaratoria de arriba, el foco y la directriz son:
y^2-12x=0-> y^2 = 12x.
Luego p = 6
Y F(3,0) y d:x=-3
2)
x^2-12y =0;
Despejando y:
y = x^2/12.
Es una parábola que es abierta hacia arriba, pues la incógnita despejada es la y y porque el signo de x^2 es positivo.
Luego, teniendo en cuenta las notas aclaratoria de arriba, el foco y la directriz son:
x^2-12y=0.-> x^2= 12y.
p=6
F(0,3) y d: y =-3.
3) y^2+8x=0
Despejando x:
x = -y^2/8.
Es una parábola abierta hacia la izquierda, pues la incógnita despejada es la x y porque el signo de y^2 es negativo.
Luego, teniendo en cuenta las notas aclaratoria de arriba, el foco y la directriz son:
y^2+8x =0; y^2 = -8x.
p=4.
Y F(2,0) y d:x=-2
4)
x^2+2y=0.
Despejando y:
y = -x^2/2.
Es una parábola que es abierta hacia abajo, pues la incógnita despejada es la y y porque el signo de x^2 es negativo.
Luego, teniendo en cuenta las notas aclaratoria de arriba, el foco y la directriz son:
x^2+2y=0; x^2 = -2y;
p=1.
Luego:
F(0,1/2) y d: y =-1/2.
Esto es todo. Siento por la demora de respuesta.
Primero, debo decirte que todas las ecuaciones, las 4, representan parábolas. Veamos lo que sucede por partes.
Por definición, la parábola se define como el lugar geométrico de los puntos P tales que d(F, P) = d(P, d) donded F es el foco, y d es la directriz.
Teniendo en cuenta esto, veamos cual es, de forma general, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
Para ello, diferenciamos dos casos:
- La ecuación de la parábola es del tipo y^2 = 2px, entonces, el foco será F(p/2,0) y la ecuación de la directriz por = -p/2, donde p es la distancia entre el foco y la directriz.
- Si es del tipo x^2 = 2py,
F(0,p/2) y d: y = -p/2.
1)
y^2-12x= 0.
Si despejamos la incógnita de primer grado, en ete caso la x, se tiene que:
y^2-12x =0-> x = y^2/12.
Es una parábola que es abierta hacia la derecha, pues la incógnita despejada es la por y porque el signo de y^2 es positivo.
Luego, teniendo en cuenta las notas aclaratoria de arriba, el foco y la directriz son:
y^2-12x=0-> y^2 = 12x.
Luego p = 6
Y F(3,0) y d:x=-3
2)
x^2-12y =0;
Despejando y:
y = x^2/12.
Es una parábola que es abierta hacia arriba, pues la incógnita despejada es la y y porque el signo de x^2 es positivo.
Luego, teniendo en cuenta las notas aclaratoria de arriba, el foco y la directriz son:
x^2-12y=0.-> x^2= 12y.
p=6
F(0,3) y d: y =-3.
3) y^2+8x=0
Despejando x:
x = -y^2/8.
Es una parábola abierta hacia la izquierda, pues la incógnita despejada es la x y porque el signo de y^2 es negativo.
Luego, teniendo en cuenta las notas aclaratoria de arriba, el foco y la directriz son:
y^2+8x =0; y^2 = -8x.
p=4.
Y F(2,0) y d:x=-2
4)
x^2+2y=0.
Despejando y:
y = -x^2/2.
Es una parábola que es abierta hacia abajo, pues la incógnita despejada es la y y porque el signo de x^2 es negativo.
Luego, teniendo en cuenta las notas aclaratoria de arriba, el foco y la directriz son:
x^2+2y=0; x^2 = -2y;
p=1.
Luego:
F(0,1/2) y d: y =-1/2.
Esto es todo. Siento por la demora de respuesta.
Te entendí muy poco pero ya lo estoy resolviendo por medio de un libro te todos modos te agradezco que hallas invertido parte de tu tiempo de todas maneras estos resultados me va a servir para guiarme.. gracias
c) Para hallar el radio de la circunferencia cuyo centro es (3,4) basta con calcular la distancia existente entre dicho punto y la recta dada.
La distancia deun punto a una recta se define como:
si r: Ax+By+D =0
Y P(x0, y0), entonces
Distancia
= |A*x0+B*y0+D|/raiz(A^2+B^2)
Luego:
En nuestro caso:
r: 4x-2y+10=0
distancia =
|4*3-2*4+10|/raiz(4^2+(-2)^2)
=
14/raiz(20).
Por tanto, la ecuación es:
(x-3)^2+(y-4)^2 = (14/raiz(20))^2;
(x-3)^2+(y-4)^2 = 14^2/20.
La distancia deun punto a una recta se define como:
si r: Ax+By+D =0
Y P(x0, y0), entonces
Distancia
= |A*x0+B*y0+D|/raiz(A^2+B^2)
Luego:
En nuestro caso:
r: 4x-2y+10=0
distancia =
|4*3-2*4+10|/raiz(4^2+(-2)^2)
=
14/raiz(20).
Por tanto, la ecuación es:
(x-3)^2+(y-4)^2 = (14/raiz(20))^2;
(x-3)^2+(y-4)^2 = 14^2/20.
