Teorema de Cauchy
Estudie la convergencia puntual y uniforme de la sucesión de funciones { f(n) } donde
f(n): R ---> R está definida por; fn(x) = (1 + x^2n)^1/n.
1 Respuesta
Si x=0 ==> fn(x) ---> 1
Si 0< x <1 ==> x^2n-->0 ==> fn(x) ---> 1
Si -1 < x < 0 ==> x^2n -->0 ==> fn(x) --->1
Si x=1 ==> fn(x) ---> 2^(1/n) = 1
Si x=-1 ==> fn(x) 0^(1/n) = 0
Si x>1 ==> x^(2n) -->oo ==> 1+x^(2n) --> a un oo del mismo orden
Luego podemos quedarnos con lo primero para simplificar los cálculos
lim n-->oo fn(x) =
lim n-->oo [1+x^(2n)]^(1/n) =
lim n--> oo [x^(2n)]^(1/n) = x^2
Si x < -1 dado que 2n es par los términos serán así
fn(x) = [1+ |x|^(2n)]^(1/n) que por el apartado anterior tiende a x^2
Resumiendo
Converge a la función f(x) definida así
f(x) = 1 si -1 < x <= 1
= 0 si x=0
= x^2 si |x| > 1
Y perdona, pero ahora mismo la convergencia uniforme no la tengo fresca, tal vez si me dijeras el libro podría hacer algo, pero es que no tengo mucho tiempo.
