¿Cómo se hace este ejercicio?

Si r es una raíz de un polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por (x-r) y podemos escribir

P(x) = (x-r)Q(x)

Con Q(x) polinomio de un grado menos que P(x)

Nos dicen que las raíces son 1 y 2 más aparte nos dan un divisor, de todo ello se deduce

P(x) = A(x-1)(x-2)(x+2)

Donde A es un constante.

El resto de dividir un polinomio P(x) entre (x-r) es P(r).

En este caso nos dicen dividir por x = x-0 luego es P(0)

P(0) = A(0-1)(0-2)(0+2) = A(-1)(-2)(2) = 4A

Y nos dicen que ese resto es 8, luego

4A = 8

A = 8/4 = 2

luego

P(x) = 4(x-1)(x-2)(x+2) = 4(x-1)(x^2-4) = 4(x^3-x^2-4x+4)

P(x) = 4x^3 - 4x^2 -16x + 16

Ese es el polinomio.

Si un polinomio P(x) dividido entre otro D(x) tiene cociente C(x y resto R(x) tenemos:

P(x) = C(x)D(x) + R(x)

Si dividimos todo por 2 queda

P(x)/2 = C(x)[D(x)/2] + R(x)/2

Esto quiere decir que la mitad del polinomio dividida entre la mitad del divisor da el mismo cociente y la mitad del resto.

Nos piden calcular el resto de

4x^3 - 4x^2 -16x + 16 entre (2x+2)

Y nosotros sabemos calcular fácilmente el resto cuando dividimos entre (x-r) pero no cuando es (2x+s).
Lo anterior nos da la respuesta, calcularemos el resto con al mitad del polinomio y la mitad del divisor. Y ese resto será la mitad del resto original.
Asi que calculamos

Resto de 2^x3 - 2x^2 - 8x + 8 entre x+1, que es el valor de este polinomio mitad en x = -1

-2 - 2 +8 + 8 = 12

Luego el resto que nos piden es el doble y es 24

Y eso es todo.