¿Cómo desarrollo este problema con el teorema de chebychev?

El teorema de Chebyshev proporciona la probabilidad de que una variable tome valore fuera de un intervalo centrado en la medía.

Suele dar una probabilidades bastante alejadas de la realidad si comparamos con las que nos daría una N(0,1) por ejemplo, pero sirven para cualquier tipo de variable.

La desigualdad es esta.

$$P(|X-\mu| >k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$$

Si X está en el intervalo [20, 40] su distancia a la media es <=10

Como la desviación estándar es 5 esa distancia es menor que 2 veces la desviación.

Tomamos como la k de la desigualdad ese número 2.

Entonces la desigualdad dice que la probabilidad de que X esté fuera del intervalo [20, 40] es menor que 1 / 2^2 = 1/4

Luego la probabilidad de que esté dentro es

1-1/4 = 3/4 = 0.75 = 75%

Para [15,45] se hace lo mismo, pero ahora k=3. Con lo cual la probabilidad de estar dentro de es intervalo es

1 - 1/9 = 8/9 = 0.888888.. = 88.88...%

Para [22, 38]

la k es (30-22) / 5 = 8/5 = 1.6

Luego la probabilidad de estar dentro del intervalo es

1 - 1 / 1.6^2 = 1 - 1 / 2.56 = 1 - 0.390625 = 0.609375 = 60.9375%

Y para [18, 42] la constante k es

(30-18) / 5 = 12/5 = 2.4

Y la probabilidad es

1 - 1 / 2.4^2 = 1 - 1 / 5.76 = 1 - 0.17361111.. = 0.8263888... = 82.6388..%