Ejercicio estadística con teorema de Chebyshev

Hola Experto :) vi tu perfil en inicio y aprovechando que estás disponible quisiera hacerte una pregunta sobre probabilidad y estadística :S un ejercicio que capaz sea sencillo pero no me ha salido.. Acá va:
Suponga que lanza 500 veces un dado balanceado de 10 lados (0, 1, 2, ..., 9). Con el teorema de Chebyshev, calcule la probabilidad de que la media de la muestra, POR, esté entre 4 y 5.
Te agradecería mucho si me lo respondes, y además te mando la solución del ejercicio (en inglés), lo que no entiendo es por qué la media es 4.5, qué fórmula utilizó para sacar la desviación y de donde sacó la fórmula para despejar 'k'... Te agradecería mucho una explicación detallada,
n = 500, m = 4.5 and de = 2.8733. Solving m + k(d/?500) = 5 we obtain
k = 5 - 4.5/(2.87333/?500)
= 0.5/0.1284 
= 3.8924. 
So, P(4 <= X <= 5) <= 1 - 1/k^2 = 0.9340.
Muchas Gracias!

3 respuestas

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Respuesta de
¡Hola (xxxxxx)!
La verdad es que llevo varios dís intentando entender esto de Chebyshev porque aparecen varias preguntas de ello, peor no lo he conseguido. A ver si consigo entenderlo yo también y te digo de que va.
De momento contesto dudas menores que tienes.   La media es 4,5. Si tomas los 10 valores que pueden salir en el dado y lo divides por 10 te dará la media:
media = (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)/10 = 45/10 = 4,5
La desviación standard es la media de la varianza y la varianza es:
La suma de valores-media al cuadrado partido por numero datos, o
suma de valores al cuadrado partido por numero datos - media al cuadrado
Es más sencillo el segundo método:
varianza = (0+1+4+9+16+25+36+49+64+81)/10 - 4,5^2 =
= 285/10 - 20,25 = 28,5 -20,25 = 8,25
Desviación estandar = sqrt(8,25) = 2,8722813
Fíjate que la solución tiene un pequeño error en los decimales de la desviación standard.
La fórmula es esta:

tal como aparece en la wikipedia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_de_Chebyshov
Se ve que hace k=(X- media)/(desviacion/sqrt(500))
para hallar valores en la tabla de la distribución normal.
Pero no tengo del todo claro lo que hace.
Si logro entenderlo ya te lo diría.
Un saludo.
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Respuesta de
Puedes ver las fórmulas en
http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/distribuciones_discretas.html
La media es 4.5 puesto que el dado esta balanceado si tiene 10 lados del 0 al 9 por tanto la media es (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)/10=45/10=4,5
La desviación es 
RaizCuadrada(0^2*1/10 + 1^2*1/10 + 2^2*1/10+ .... + 9^2*1/10 - Media^2)
Debe salirte lo que pone 2,8722813
La que la obtienes despejando. ¿Me falta el símbolo? delante de 500
k(d/?500)=5-m 
k = (5 - m)/(d/?500) sustituyes y te debe dar el valor.
Me falta el final que es 1 - probabilidad de salir fuera de 4,5 +- 0,5
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Respuesta de
Hola. La media es 4.5 porque el dado es balanceado (yo prefiero el término "equilibrado") y por tanto las diez caras tienen idéntica probabilidad de salir, 1/10. Así, la media aritmética es 0*(1/10)+1*(1/10)+2*(1/10)+...+9*(1/10) = (1+2+...+9)/10 = 4.5.
Por su parte la desviación típica es la raíz cuadrada de (0-4.5)^2*(1/10)+(1-4.5)^2*(1/10)+...(9-4.5)^2*(1/10) = (1^2+2^2+...+9^2)/10 - 4.5^2
A mí esta raíz me da d=2.872281323 o sea que debe haber algún error de redondeo en la solución en inglés.
Ahora debemos estudiar la variable "media de la muestra de 500 lanzamientos". Por el Teorema Central del Límite esta variable sigue una distribución normal de media 4.5 y desviación típica d/raíz(500) = 0.128452325
El teorema de Chebyshev aplicado a este problema nos dice que Prob(4.5-k*0.128 <= X <= 4.5+k*0.128) >= 1-1/k^2.
Lo que queremos es calcular Prob(4 <= X <= 5). Por tanto, despejamos k a partir de las expresiones anteriores, por ejemplo con 4.5+k*0.128 = 5.
Una vez tengamos k, 1-1/k^2 nos dirá una cota inferior para la probabilidad pedida.
La solución en inglés pone al final "<=" donde debería poner ">=".
Por otro lado, habiendo ya utilizado el Teorema Central del Límite, parece mucho más natural (y preciso) emplear la distribución normal para calcular Prob(4<= X <= 5). Pero bueno, si en el ejercicio piden utilizar el teorema de Chebyshev, pues habrá que utilizarlo.
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