Intervalos de confianza (Estadística)
He estado intentado realizar dos ejercicios de este tipo y la verdad me asaltan ciertas dudas.
1. Un lote de barras de acero dio las siguientes rupturas:
1.525 1.56 1.542 1.6 1.59 1.53 1.585 1.57 1.545
a) Construir un intervalo de confianza para la resistencia media de las barras de acero.
2. Un generador de número aleatorios produce ceros y unos. Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ceros generados mediante dicho generador si en una prueba se han obtenido 5632 ceros y 5599 unos.
Tal cual el primero sería de una población, del que tendría que sacar ¿media, varianza y desviación típica?. ¿La media si tuviera que calcularla sería diferente a la media total porque está media no sería de la muestra únicamente?. ¿O habría que usar una fórmula tal como para una media de distribución normal (una población) con tamaño muestral pequeño y varianza desconocida?, es decir, ¿ media +- t(n-1,alfa/2 S/raiz n? ¿La S que es?.
¿El segundo más o menos igual que el primero?.
Una pequeña guía para entender algún ejercicio sería de ayuda, por cierto, ¿el intervalo confianza me lo invento?.
1. Un lote de barras de acero dio las siguientes rupturas:
1.525 1.56 1.542 1.6 1.59 1.53 1.585 1.57 1.545
a) Construir un intervalo de confianza para la resistencia media de las barras de acero.
2. Un generador de número aleatorios produce ceros y unos. Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ceros generados mediante dicho generador si en una prueba se han obtenido 5632 ceros y 5599 unos.
Tal cual el primero sería de una población, del que tendría que sacar ¿media, varianza y desviación típica?. ¿La media si tuviera que calcularla sería diferente a la media total porque está media no sería de la muestra únicamente?. ¿O habría que usar una fórmula tal como para una media de distribución normal (una población) con tamaño muestral pequeño y varianza desconocida?, es decir, ¿ media +- t(n-1,alfa/2 S/raiz n? ¿La S que es?.
¿El segundo más o menos igual que el primero?.
Una pequeña guía para entender algún ejercicio sería de ayuda, por cierto, ¿el intervalo confianza me lo invento?.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
1)
En muchos sitios podrás encontrar como resolver estos problemas. Yo en concreto lo he mirado en:
http://www.casado-d.org/edu/EjerciciosIntervalos.pdf
En las páginas 3, 4 y 5 tienes el ejercicio de la inflación calcado a este.
Efectivamente, tienes que usar la fórmula para una media de distribución normal con tamaño muestral pequeño y varianza desconocida, como dices. Y el intervalo de confianza será:
media +- t(n-1,(alfa/2)(S/sqrt(n)))
Llamo sqrt a la raíz cuadrada.
La ES que preguntas es la cuasidesviación típica muestral. En contraposición con lo que llama desviación típica sin corregir se caracteriza por dividir el sumatotio de cuadrados por (n-1) en lugar de n y proporciona mejores resultados para las estimaciones con n pequeño.
ES = sqrt([sumatorio de (Xi - media)^2 ] / [n-1])
Hay que hacer notar que cuando la calcula, al final del ejercicio se olvida de poner la raíz cuadrada, aunque la ejecuta.
Finalmente el intervalo de confianza te lo inventas ya que no te lo han dado. Los más usados son el 95% y el 99%.
Ya con esto no hay más que hacer las cuentas con los datos proporcionados para obtener los resultados.
1.525 1.56 1.542 1.6 1.59 1.53 1.585 1.57 1.545
La media es 1,561
La cuasidesviación típica muestral es 0,02714314 (recordar que se dividió por n-1=8)
Hagamos el problema para el intervalo de confianza del 95%.
alfa = 0,05
alfa/2 = 0,025
1-alfa/2 = 0,975
grados de libertad = 8
En la tabla encontramos que el valor buscado es 2,31
Y el intervalo de confianza es
1,561 +- 2,31 · 0,02714314 / sqrt(8) = 1,561 +- 0,0221679
La media tiene un 95% de probabilidad de estar en el intervalo
[1,538832; 1,583168]
-------------------
2)Un generador de número aleatorios produce ceros y unos. Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ceros generados mediante dicho generador si en una prueba se han obtenido 5632 ceros y 5599 unos.
Tuve que buscar en otro sitio para este tipo de problema.
http://www.amolasmates.es/pdf/ejercicios/2%BA%20Bach%20Hum/Intervalo%20de%20confianza%20para%20proporciones.pdf
En concreto es el ejercicio 18 que está en la página número 12 y que trata sobre nivel de abstención en unas elecciones.
Llamando pr a la proporción en que se da aquello de lo que queremos calcular el intervalo, el intervalo es:
pr -+ z(alfa/2)sqrt(pr(1-pr)/n)
Donde z(alfa/2) será el contravalor de 1-alfa/2 en una distribución normal tipificada.
pr = propórcion de ceros = 5632 / (5632+5599) = 5632 / 11231 = 0,5014691
z(alfa/2) = contravalor (1- 0,05/2)=contravalor(0,975) = 1,96
0,5014691 -+ 1,96(sqrt(0,5014691 · 0,4985308 / 11231)=
0,5014691 -+ 1,96(0,00471801) = 0,5014691 -+ 0,0092473
El intervalo es donde estará el 95% de las veces la proporción de los ceros es:
[0,4922218; 0,5107164]
Y esto es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
En muchos sitios podrás encontrar como resolver estos problemas. Yo en concreto lo he mirado en:
http://www.casado-d.org/edu/EjerciciosIntervalos.pdf
En las páginas 3, 4 y 5 tienes el ejercicio de la inflación calcado a este.
Efectivamente, tienes que usar la fórmula para una media de distribución normal con tamaño muestral pequeño y varianza desconocida, como dices. Y el intervalo de confianza será:
media +- t(n-1,(alfa/2)(S/sqrt(n)))
Llamo sqrt a la raíz cuadrada.
La ES que preguntas es la cuasidesviación típica muestral. En contraposición con lo que llama desviación típica sin corregir se caracteriza por dividir el sumatotio de cuadrados por (n-1) en lugar de n y proporciona mejores resultados para las estimaciones con n pequeño.
ES = sqrt([sumatorio de (Xi - media)^2 ] / [n-1])
Hay que hacer notar que cuando la calcula, al final del ejercicio se olvida de poner la raíz cuadrada, aunque la ejecuta.
Finalmente el intervalo de confianza te lo inventas ya que no te lo han dado. Los más usados son el 95% y el 99%.
Ya con esto no hay más que hacer las cuentas con los datos proporcionados para obtener los resultados.
1.525 1.56 1.542 1.6 1.59 1.53 1.585 1.57 1.545
La media es 1,561
La cuasidesviación típica muestral es 0,02714314 (recordar que se dividió por n-1=8)
Hagamos el problema para el intervalo de confianza del 95%.
alfa = 0,05
alfa/2 = 0,025
1-alfa/2 = 0,975
grados de libertad = 8
En la tabla encontramos que el valor buscado es 2,31
Y el intervalo de confianza es
1,561 +- 2,31 · 0,02714314 / sqrt(8) = 1,561 +- 0,0221679
La media tiene un 95% de probabilidad de estar en el intervalo
[1,538832; 1,583168]
-------------------
2)Un generador de número aleatorios produce ceros y unos. Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ceros generados mediante dicho generador si en una prueba se han obtenido 5632 ceros y 5599 unos.
Tuve que buscar en otro sitio para este tipo de problema.
http://www.amolasmates.es/pdf/ejercicios/2%BA%20Bach%20Hum/Intervalo%20de%20confianza%20para%20proporciones.pdf
En concreto es el ejercicio 18 que está en la página número 12 y que trata sobre nivel de abstención en unas elecciones.
Llamando pr a la proporción en que se da aquello de lo que queremos calcular el intervalo, el intervalo es:
pr -+ z(alfa/2)sqrt(pr(1-pr)/n)
Donde z(alfa/2) será el contravalor de 1-alfa/2 en una distribución normal tipificada.
pr = propórcion de ceros = 5632 / (5632+5599) = 5632 / 11231 = 0,5014691
z(alfa/2) = contravalor (1- 0,05/2)=contravalor(0,975) = 1,96
0,5014691 -+ 1,96(sqrt(0,5014691 · 0,4985308 / 11231)=
0,5014691 -+ 1,96(0,00471801) = 0,5014691 -+ 0,0092473
El intervalo es donde estará el 95% de las veces la proporción de los ceros es:
[0,4922218; 0,5107164]
Y esto es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Muchas gracias, he estado haciendo ejercicios desde entonces y ha llegado un momento que me han salido casi todos, salvo algunos que en pequeños detalles tenía dudas, tu respuesta me ha servido para aclararlas. El ejercicio 2 me ha dado igual y el 1 gracias a tu explicación de cuasidesviación típica también. Gracias por todo, muy buena respuesta.
