Métodos de integrales

El primer método consiste que hay que meldarte es un caso particular del cambio de variable: los cambios están prediseñados, por así proferirlo. Por supuesto, supongo que quieres integrar indefinidamente, es decir, antiderivar o buscar primitivas.
Voy a denotar (como hay pocos símbolos):
I[f(x)dx] Para denotar la primitiva (integral es como las llamas tu en la pregunta) de la función f(x)
rc(X) significará "raíz cuadrada de X"
Potenciación: cuando no haya confusión, la denotaré así: x2 = x al cuadrado, u3 = el cubo de u, etc.
Funciones trigonométricas: senx = sen(x), secz = sec(z), es decir, se escribe junto
Las substituciones a realizar dependen de los casos siguientes:
Si aparece substituir
rc(a2-v2) v = a senz
rc(a2+v2) v = a tgz
rc(v2-a2) v = a secz
Ejemplo: calcular la integral siguiente: I [ dv / rc(v2+a2) ], siendo a una constante real.
Así, que hacemos v = a tgz, por lo que (derivando) dv = a secz tgz dz
I [ a sec2z / rc((a tgz)2 + a2) dz ] =
-- sec2z es secante al cuadrado de z, y no secante de 2z
= I [ a sec2z / rc(a2 (tg2z+1)) dz ] =
= I [ a sec2z / (a rc(tg2z+1)) dz ]= (como tg2z+1 = sec2z)
= I [ a sec2z / (a rc(sec2z)) dz ] =
= I [ a sec2z / a secz dz ]=(cancelando)
= I [ secz dz ] = ln(secz + tgz) + C
-- C es la constante de la integral
Ahora tenemos una primitiva para la función de z, pero falta obtener a partir de ésta una primitiva para la función de v.
Como v = a tgz, tenemos tgz = v/a.
Además, de la relación trigonométrica de antes, tenemos secz = rc(1+tg2z). Entonces:
ln(secz + tgz) = ln( rc(1+(v/a)2) + v/a ) = ln ( rc(v2+a2)/a + v/a ) =
ln ( (rc(v2+a2) + v) / a ) = (utilizando las propiedades de los logaritmos) =
= ln (rc(v2+a2) + v) - lna
Como lna es una constante, podemos hacer C' = C + lna y la integral definitiva es:
I [ dv / rc(v2+a2) ] = ln (rc(v2+a2) + v) + C'
Luego el método se resume así:
1º Substituir las v por la expresión en z según la tabla de arriba
2º Hallar dv en función de z y dz, dv = v'(z) dz, donde v(z) es la expresión en z de v (como en 1º)
3º Substituir la dv por su expresión en z y dz
4º Simplificar para obtener algo que se pueda integrar: normalmente habrá que utilizar propiedades trigonométricas
5º Integrar, obtener la integral en z
6º Utilizar de nuevo propiedades trigonométricas para obtener una expresión sólo en v
Ahora explicaré el método de las fracciones racionales.
Uno no puede realizar la integral del tipo I [ P(X)/Q(X) ] directamente, donde P(x) y Q(x) son polinomios en x. Uno siempre puede efectuar la división de polinomios P(x)=Q(x)C(x) + R(x), (C(x) es el cociente y R(x) el rest) de donde P(x)/Q(x) = C(x) + R(x)/Q(x).
Entonces:
I [ P(x)/Q(x) ] = I [C(x)] + I [R(x)/Q(x)]
La primera integral es inmediata pero la segunda no, pero el grado de R(x) es ahora menor que el de Q(x), con lo cual podemos factorizar.
Ahora necesito subíndices, para denotarlos utilizaré el guión bajo: a_i = "a sub i"
Supongamos que la expresión de Q(x) es (una vez descompuesta por Ruffini o como se pueda):
Q(x) = (x-r_1)i_1 (x-r_2)i_2 ... (x-r_n)i_n
donde los i_1, ..., i_n son exponentes.
P(x)/Q(x) =
A_11/(r-r_1)i_1 +
A_12/(r-r_1)[i_1-1]+ -- [i_1-1] es exponente
...
A_1i_1/(r-r_1) +
...
...
A_n1/(r-r_n)i_n +
A_n2/(r-r_n)[i_n-1] +
...
A_ni_n/(r-r_n)
Queda hallar los A_jk, j=1..n
Casi mejor vemos un ejemplo:
Calcular la integral I [ (x4-x3-x-1) / (x3-x2) dx ] = (*)
Al efectuar la división:
(*) = I [x dx] + I [ (-x-1) / (x3-x2) dx ] = x2/2 + I_2 + K
K es la constante
I_2 = segunda integral => factorizamos:
(x3-x2) = (x2·(x-1))
Por tanto:
(-x-1)/(x3-x2) = A/x2 + B/x + C/(x-1)