Dudas con la Carpintería de cuatro Integrales
Hola Mikel, estoy estudiando matemáticas por mi cuenta, tengo algunas dudas para resolver cuatro integrales que están en mi libor, estas son:
La integral de (e^(-1/x))/X^2
La integral de X/X+1
La integral de X/(X^2)+1
La integral de 2/X(LnX)^2
Cualquier ayuda le sera muy agradecida.
La integral de (e^(-1/x))/X^2
La integral de X/X+1
La integral de X/(X^2)+1
La integral de 2/X(LnX)^2
Cualquier ayuda le sera muy agradecida.
Respuesta de joseramos7
1
La primera integral se resuelve con un sencillo cambio de variable: Si hacemos t=-1/x, la integral se convierte en la integral de (e^t)dt, puesto que derivando en dicha igualdad resulta que dt = (1/x^2)dx, despeje dx y simplifique. Se obtiene la integral de (e^t)dt como ya he dicho, cuya solución es inmediata: e^t, deshaciendo el cambio de variable, el resultado final es: e^(-1/x) + que, siendo que como ya sabe, una constante cualquiera.
La última integral es similar, tiene que hacer el cambio de variable LnX=t, al derivar resulta (1/x)dx=dt despejando dx y sustituyendo en la integral de partida y tras simplificar, resulta la integral de 2/t^2, cuya integral es -2/t, y deshaciendo el cambio de variable resulta ser finalmente: -2/lnX + k
La segunda es de tipo racional (cociente de polinomios). Hay que descomponerla así:
x/x+1 = 1- 1/x+1 con lo cual la integral se convierte en la integral de 1 menos la integral de 1/x+1. Solución:
x-ln(x+1) + k
La tercera, pese a ser una racional, sale de inmediato haciendo (x^2+1)=t; derivando resulta:
2x dx = dt, despejando dx y sustituyendo en la original y simplicando las x, se obtiene
la integral de 1/2t, cuya solución es (1/2)Lnt. Deshaciendo el cambio, la solución final es (1/2)Ln((x^2+1)) + k
La última integral es similar, tiene que hacer el cambio de variable LnX=t, al derivar resulta (1/x)dx=dt despejando dx y sustituyendo en la integral de partida y tras simplificar, resulta la integral de 2/t^2, cuya integral es -2/t, y deshaciendo el cambio de variable resulta ser finalmente: -2/lnX + k
La segunda es de tipo racional (cociente de polinomios). Hay que descomponerla así:
x/x+1 = 1- 1/x+1 con lo cual la integral se convierte en la integral de 1 menos la integral de 1/x+1. Solución:
x-ln(x+1) + k
La tercera, pese a ser una racional, sale de inmediato haciendo (x^2+1)=t; derivando resulta:
2x dx = dt, despejando dx y sustituyendo en la original y simplicando las x, se obtiene
la integral de 1/2t, cuya solución es (1/2)Lnt. Deshaciendo el cambio, la solución final es (1/2)Ln((x^2+1)) + k
Jose Ramos, Muchas gracias por tu respuesta y por atenderme, me distes una muy buena clase de trucologia algebraica con las cuatro integrales, en espacia con la segunda integral.
1 respuesta más de otro experto
Respuesta de mikel1970
1
Estas integrales se resuelven mediante un cambio de variable y que consiste en
1º Llamar t a una función de x
t=f(x)
2º Diferenciar
dt=f'(x)*dx
3º Despejar dx
dx=dt/f'(x)
4º Hacer los cambios en la integral y evaluar la nueva integral
Las únicas integrales que podemos hacer son las integrales inmediatas que buscamos en un tabla. Como se aprecia no hay ningún método para integrar, sino métodos para cambiar la integral por otra, y procurar que la nueva integral sea más sencilla que la primera, o mejor, que sea inmediata.
En el método de cambio de variable, hay que buscar un cambio válido. Para ello es imprescindible que me desaparezcan todas las x y me quede una integral en t, que sea más sencilla. Date cuenta que al despejar dx me queda la derivada de f(x), f'(x) abajo, con lo que esa función tiene que eliminar todas las x, o si no lp hace lo hemos de hacer nosotros. Lo que tienes que tener claro que no podemos resolver una integral con las dos variables x y t juntas. Si el cambio no es válido hay que probar otra cosa.
1º Int[(e^(-1/x)/x^2)*dx]
Hay un exponente -1/x, y un x^2 abajo. Si te das cuenta, la derivada de -1/x es 1/x^2, que casualmente se encuentra en la integral. Así pues probamos
t=-1/x
dt=1/x^2 * dx
dx=x^2*dt
Luego
Int[(e^(-1/x)/x^2)*dx]=
Int[(e^t/x^2)*x^2*dt]=
Int[e^t*dt]-->inmediata
e^t=e^(-1/x)+cte
2º Int[x/(x+1) *dx]
Esta es curiosa, y si te das cuenta cambia mucho el hecho de tener sumas abajo que arriba, pues si están arriba podemos poner la fracción como suma de fracciones más sencillas.
El cambio es
t=x+1
dt=dx
Int[x/(x+1) *dx]
Int((x/t)*dt]
No se me ha ido la x, pero de la definición de t
t=x+1-->x=t-1
y la integral me queda
Int[(t-1)/t * dt]
Como ves es parecida a la primera, pero al tener los sumandos arriba
(t-1)/t=t/t-1/t=1-1/t
luego
Int[(t-1)/t *dt]
Int[(1-1/t)*dt]=
Int[dt]-Int[(1/t)*dt]=
t-Lnt=x+1-Ln(x+1)+cte
Sólo indicar que el sumando 1 se puede quitar porque es constante y se puede meter en la cte de integración
3º Int[(x/(x^2+1))*dx]
Esta es un caso de mezcla de las anteriores. El cambio es
t=x^2+1
Pues al derivar nos queda 2*x que hace que se elimine la x de arriba. Podíamos hacer t^x^2, que también elimina la x, pero en ese caso me queda una suma abajo
t=x^2+1
dt=2*x*dx
dx=dt/(2*x)
Int[(x/(x^2+1))*dx]=
Int[(x/t)*dt/(2*x)]=
(1/2)*Int[dt/t]=
(1/2)*Lnt=(1/2)*Ln(x^2+1)+cte
4º Int[2/(x*(Lnx)^2 * dx]
El cambio es el logaritmo pues su derivada es 1/x que va eliminar la x
t=Lnx
dt=(1/x)*dx
dx=x*dt
Int[2/(x*(Lnx)^2 * dx]=
2*Int[1/(x*t^2)*x*dt]=
2*Int[(1/t^2)*dt]=
2*Int[t^-2*dt]=
2*(t^-1)/(-1)=
-2/t=-2/Lnx + cte
Como ves todo consiste en encontrar el cambio correcto, aunque a veces no es obvio.
Por ejemplo la integral
Int[raiz(1-x^2)]
Aunque no lo parezca se resuelve con el cambio t=senx.
Animo y suerte con tus estudios. No tengas prisa, vete a tu ritmo, pero no pases un tema sin comprenderlo a fondo, pues así sólo se crean lagunas que tarde o temprano pasan factura.
1º Llamar t a una función de x
t=f(x)
2º Diferenciar
dt=f'(x)*dx
3º Despejar dx
dx=dt/f'(x)
4º Hacer los cambios en la integral y evaluar la nueva integral
Las únicas integrales que podemos hacer son las integrales inmediatas que buscamos en un tabla. Como se aprecia no hay ningún método para integrar, sino métodos para cambiar la integral por otra, y procurar que la nueva integral sea más sencilla que la primera, o mejor, que sea inmediata.
En el método de cambio de variable, hay que buscar un cambio válido. Para ello es imprescindible que me desaparezcan todas las x y me quede una integral en t, que sea más sencilla. Date cuenta que al despejar dx me queda la derivada de f(x), f'(x) abajo, con lo que esa función tiene que eliminar todas las x, o si no lp hace lo hemos de hacer nosotros. Lo que tienes que tener claro que no podemos resolver una integral con las dos variables x y t juntas. Si el cambio no es válido hay que probar otra cosa.
1º Int[(e^(-1/x)/x^2)*dx]
Hay un exponente -1/x, y un x^2 abajo. Si te das cuenta, la derivada de -1/x es 1/x^2, que casualmente se encuentra en la integral. Así pues probamos
t=-1/x
dt=1/x^2 * dx
dx=x^2*dt
Luego
Int[(e^(-1/x)/x^2)*dx]=
Int[(e^t/x^2)*x^2*dt]=
Int[e^t*dt]-->inmediata
e^t=e^(-1/x)+cte
2º Int[x/(x+1) *dx]
Esta es curiosa, y si te das cuenta cambia mucho el hecho de tener sumas abajo que arriba, pues si están arriba podemos poner la fracción como suma de fracciones más sencillas.
El cambio es
t=x+1
dt=dx
Int[x/(x+1) *dx]
Int((x/t)*dt]
No se me ha ido la x, pero de la definición de t
t=x+1-->x=t-1
y la integral me queda
Int[(t-1)/t * dt]
Como ves es parecida a la primera, pero al tener los sumandos arriba
(t-1)/t=t/t-1/t=1-1/t
luego
Int[(t-1)/t *dt]
Int[(1-1/t)*dt]=
Int[dt]-Int[(1/t)*dt]=
t-Lnt=x+1-Ln(x+1)+cte
Sólo indicar que el sumando 1 se puede quitar porque es constante y se puede meter en la cte de integración
3º Int[(x/(x^2+1))*dx]
Esta es un caso de mezcla de las anteriores. El cambio es
t=x^2+1
Pues al derivar nos queda 2*x que hace que se elimine la x de arriba. Podíamos hacer t^x^2, que también elimina la x, pero en ese caso me queda una suma abajo
t=x^2+1
dt=2*x*dx
dx=dt/(2*x)
Int[(x/(x^2+1))*dx]=
Int[(x/t)*dt/(2*x)]=
(1/2)*Int[dt/t]=
(1/2)*Lnt=(1/2)*Ln(x^2+1)+cte
4º Int[2/(x*(Lnx)^2 * dx]
El cambio es el logaritmo pues su derivada es 1/x que va eliminar la x
t=Lnx
dt=(1/x)*dx
dx=x*dt
Int[2/(x*(Lnx)^2 * dx]=
2*Int[1/(x*t^2)*x*dt]=
2*Int[(1/t^2)*dt]=
2*Int[t^-2*dt]=
2*(t^-1)/(-1)=
-2/t=-2/Lnx + cte
Como ves todo consiste en encontrar el cambio correcto, aunque a veces no es obvio.
Por ejemplo la integral
Int[raiz(1-x^2)]
Aunque no lo parezca se resuelve con el cambio t=senx.
Animo y suerte con tus estudios. No tengas prisa, vete a tu ritmo, pero no pases un tema sin comprenderlo a fondo, pues así sólo se crean lagunas que tarde o temprano pasan factura.