Lagrange
Hola, soy estudiante de Ing en sistemas computacionales y estoy cursando la materia de investigación de operaciones, tengo 2 problemas que no puedo resolver, realmente te agradecería ampliamente que me pudieras ayudar... Los problemas son los siguientes:
(1).- Supongamos que la producción de cierta mercancía depende de 2 insumos. Las cantidades de estos insumos están dadas por: 100x y 100y, cuyos precios son respectivamente $7 y $4. La cantidad de la producción esta indicada por 100z, cuyo precio por unidad es de $9. Ademas la función de producción tiene los valores de función de:
Z=X/3 + Y/3 + 5 - 1/X - 1/Y
Determinar la ganancia máxima utilizando el método de mutiplicadores de lagrange.
(2).- Deseamos maximizar la utilidad "p", que está dada por:
P(X,Y)=4X + 6Y
SUJETA A: X^2 + Y^2 + 2X + 4Y - 4
Por multiplicadores de lagrange...
Se que es demasiado lo que estoy pidiendo, yo no soy experto pero si tienes alguna duda en relación a manejo de soft, hard y sistemas, haré lo posible por ayudar... Realmente me recomendaron esta página, ojala y me puedas ayudar y de antemano muchas gracias...
(1).- Supongamos que la producción de cierta mercancía depende de 2 insumos. Las cantidades de estos insumos están dadas por: 100x y 100y, cuyos precios son respectivamente $7 y $4. La cantidad de la producción esta indicada por 100z, cuyo precio por unidad es de $9. Ademas la función de producción tiene los valores de función de:
Z=X/3 + Y/3 + 5 - 1/X - 1/Y
Determinar la ganancia máxima utilizando el método de mutiplicadores de lagrange.
(2).- Deseamos maximizar la utilidad "p", que está dada por:
P(X,Y)=4X + 6Y
SUJETA A: X^2 + Y^2 + 2X + 4Y - 4
Por multiplicadores de lagrange...
Se que es demasiado lo que estoy pidiendo, yo no soy experto pero si tienes alguna duda en relación a manejo de soft, hard y sistemas, haré lo posible por ayudar... Realmente me recomendaron esta página, ojala y me puedas ayudar y de antemano muchas gracias...
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Resolvamos primero el segundo problema de dos formas
Maximizar P(x,y)=4x+6y
Sujeta a x^2+y^2+2x+4y-4=0
Supongo que la restricción es así ( debe ser una igualdad o desigualdad)
DERIVADAS
---------
Ya que la función a maximizar sólo depende de dos variables que están relacionadas, bastará con despejar una de ellas de la restricción, llevarla a la función, derivar e igualar a cero
y^2+4y+x^2+2x-4=0
Resolvemos la ecuación, quedándonos con la solución mayor de y ( será el máximo)
y=[-2+sqrt(16-4(x^2+2x-4))]/2
y=[-2+sqrt(16-4x^2-8x+16)]/2
y=[-2+sqrt(32-4x^2-8x)]/2
y=-1+sqrt[(32-4x^2-8x)/4]
y=-1+sqrt(8-x^2-2x)
Luego la función nos quedará
P(x,y)=4x+6y
P(x,y)=4x+6[-1+sqrt(8-x^2-2x)]
P(x,y)=4x-6+6sqrt(8-x^2-2x)
Derivando e igualando a cero
P'=4+6*[(-2x-2)/(2*sqrt(8-x^2-2x)]=0
P'=4-6*[(x+1)/sqrt(8-x^2-2x)]=0
6*[(x+1)/sqrt(8-x^2-2x)]=4
6(x+1)=4sqrt(8-x^2-2x)
Elevando al cuadrado
36(x^2+2x+1)=16(8-x^2-2x)
36x^2+72x+36=128-16x^2-32x
52x^2+104x-92=0
13x^2+26x-23=0
Resolviendo y quedándonos con la solución mayor
x=[-26+sqrt(1872)]/26
como sqrt(1872)=sqrt(16*9*13)=4*3*sqrt(13)=12sqrt(13)
x= -26/26 + 12sqrt(13)/26
x=-1+6sqrt(13)/13
Sustituyendo en la y nos queda
y=-2+9sqrt(13)/13
Luego el máximo es el punto
x=-1+6sqrt(13)/13
y=-2+9sqrt(13)/13
... continua
Maximizar P(x,y)=4x+6y
Sujeta a x^2+y^2+2x+4y-4=0
Supongo que la restricción es así ( debe ser una igualdad o desigualdad)
DERIVADAS
---------
Ya que la función a maximizar sólo depende de dos variables que están relacionadas, bastará con despejar una de ellas de la restricción, llevarla a la función, derivar e igualar a cero
y^2+4y+x^2+2x-4=0
Resolvemos la ecuación, quedándonos con la solución mayor de y ( será el máximo)
y=[-2+sqrt(16-4(x^2+2x-4))]/2
y=[-2+sqrt(16-4x^2-8x+16)]/2
y=[-2+sqrt(32-4x^2-8x)]/2
y=-1+sqrt[(32-4x^2-8x)/4]
y=-1+sqrt(8-x^2-2x)
Luego la función nos quedará
P(x,y)=4x+6y
P(x,y)=4x+6[-1+sqrt(8-x^2-2x)]
P(x,y)=4x-6+6sqrt(8-x^2-2x)
Derivando e igualando a cero
P'=4+6*[(-2x-2)/(2*sqrt(8-x^2-2x)]=0
P'=4-6*[(x+1)/sqrt(8-x^2-2x)]=0
6*[(x+1)/sqrt(8-x^2-2x)]=4
6(x+1)=4sqrt(8-x^2-2x)
Elevando al cuadrado
36(x^2+2x+1)=16(8-x^2-2x)
36x^2+72x+36=128-16x^2-32x
52x^2+104x-92=0
13x^2+26x-23=0
Resolviendo y quedándonos con la solución mayor
x=[-26+sqrt(1872)]/26
como sqrt(1872)=sqrt(16*9*13)=4*3*sqrt(13)=12sqrt(13)
x= -26/26 + 12sqrt(13)/26
x=-1+6sqrt(13)/13
Sustituyendo en la y nos queda
y=-2+9sqrt(13)/13
Luego el máximo es el punto
x=-1+6sqrt(13)/13
y=-2+9sqrt(13)/13
... continua
Mikel, realmente te lo agradezco demasiado, no te puedo agracer económicamente como debería ser, ya que me has lbrado de un problema escolar. Pero algún día haré lo mismo. ;D
