Preguntas de derivadas de F.Trigonométricas inversas

Hola valeroasm!
Resuelve estas preguntas por la definición de limite.
a)d(arcsenu)/dx=(1/sqrt(1-(u^2))(du/dx)
b)d(arccosu)/dx=(-1/sqrt(1-(u^2))(du/dx).
c)d(arctanu)/dx=(1/(1+(u^2))(du/dx).
Y así de las otras 3 más que tu conoces.
Saludos.
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Respuesta de
¡Hola Fabian!
No acabo de entender el problema. El ejercicio tiene por una parte la complicación de la composición de funciones y por otro el de la derivada de la función inversa.
Normalmente en teoría se demuestran esas dos complicaciones con sendos teoremas y luego se demuestran esta es derivadas por el teorema de la derivada inversa de la función seno, coseno, tangente, etc.
Pero si hiciera eso, no estaría haciendo más que lo que sale en cientos de libros, para eso se lee en un libro y mejor que lo que yo haga.
Entonces me temo que lo que quieres es que demuestre la derivada sin hacer uso del teorema de la derivada de la función inversa. ¿Es eso? ¿Y también que no utilice el teorema de la composición de funciones? Eso son cosas que no sé si se podrían hacer y serían una complicación innecesaria para algo que se puede demostrar de una manera fácil y elegante con esos teoremas.
Nuevamente te pido pelos y señales porque es un problema que podría ser muy difícil.
Un saludo.
Hola!
Pensándolo bien para que no demuestres los 6 problemas relacionas sólo te bastaría de demostrar lo siguiente:
[[Sea f*=f inversa, f´=funcion inversa.]]
Sea f una funcion diferenciable sobre un intervalo I tal que f´(x)>0, para todo x E I, entonces f´es diferenciable sobre el intervalo f(I), y además para todo xo E I: yo=f(xo) ; xo=f*(yo)
A partir de esto se demuestra Df*(yo)=1/(Df(xo)).
Claro ps si demuestras esto entonces el problema ya salió los 6 problemas ¿verdad?.
Primero demuestra lo que está en negrita por el método que tú consideres sencillo, luego demuestra por la definición de la derivada.Por si no te acuerdas la definición te la mando:
f´(x)=lim(h tiende a 0)[(f(x+h)-f(x))/h]
Atte: F.P.DL.
¡Hola Fabian!
Lo que pides es el teorema de la derivada de la función inversa. Es un clásico y esta demostrado en todos los libros del mundo. Creo que te has hecho un lío con losapostrofos y los asteriscos, debería ser:
Sea f una funcion diferenciable sobre un intervalo I tal que f´(x)>0, para todo x E I, entonces f* es diferenciable sobre el intervalo f(I), y además para todo xo E I: yo=f(xo) ; xo=f*(yo)
Par evitar estos líos llamemos g a la función inversa de f.
Lo primero que recalcas es
Sea f una función diferenciable sobre un intervalo I tal que f´(x)>0, para todo x.
Esto es importante porque nos asegura la existencia de la función inversa g. Si una función derivable en un intervalo tiene derivada estrictamente mayor que cero, quiere decir que la función es estrictamente creciente y eso nos asegura que existe g de f(I) en I tal que gof = fog = Identidad
Te falta poner la condición de que g'(pero) <> 0 (<> significa distinto)
El teorema original (al menos elq ue tengo yo) dice:
Si para la función y = f(x) existe una inversa g(x) tal que en un punto y dado tenga una derivada, g'(y), distinta de cero, entonces la función y=f(x), tiene en el punto correspondiente, x, una derivada, f '(x), igual a 1/g'(y), es decir, se verifica la fórmula
f '(x) = 1/g'(y)
La demostración es una tontería. Llamemos deltay al incremento de y deltax al de x
Tenemos
deltay / deltax = 1 / (deltax / deltay)
Tomando límites cuando deltay tiende a cero tenemos
y'x = 1/ x'y
(Se lee y derivada respecto de x igual a 1 dividido por derivada de x respecto de y) o sea
f '(x) = 1 / g'(y)
También se puede demostrar por la composición de funciones:
tomamos x = g(y) y derivamos respecto de x
1 = g'(y) · y'x que reordenado es:
y'x = 1/g'(y)
f'(x) = 1/g'(y)
Y esto nos permitirá calcular las derivadas de las funciones inversas conocidas las de la función original.
Por ejemplo la derivada de la función f(x)=arcsen(x)
y = arcsen(x)
x = sen y
x'y = cos y
entonces por el teorema
y'x = 1 / cos y
pero cos y = sqrt(1- sen^2(y)) = sqrt(1 - x^2)
luego
y'x = 1 / sqrt(1 - x^2)
arcsen'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)
Y eso es todo, espero que te sirva.
Un saludo.
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