Calculo de limites

a) lim x-->infin [x log(1+3/x)]
Es de la forma infinito · 0 luego indeterminado.
Usamos las propiedades de los logaritmos
x log (1 + 3/x) = log (1+3/x)^x
Para dejarlo similar a la definición del número e cundo n --> infin de (1 + 1/n)^n tendremos en cuenta que 3/x = 1/(x/3) y nos queda
log [1+1/(x/3)]^x
Y ahora multiplicamos y dividimos el exponente por 3
log [1+1/(x/3)]^[(x/3)·3] = log([1+1/(x/3)]^(x/3))^3 = 3log([1+1/(x/3)]^(x/3))
En el log tenemos la perfecta definición del numero e para cuando x/3 tiende a infinito, que es algo que sucede de rebote cuando por --> infinito. Luego al tomar límites quedará
lim x -->infin de 3log([1+1/(x/3)]^(x/3)) = 3log e = 3
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b)lim x-->infin [log(x^2-2x+6)-log(2x^2+3x-5)]
Aplicamos propiedades de los logaritmos
log(x^2-2x+6)-log(2x^2+3x-5) = log [(x^2-2x+6) / (2x^2+3x-5)]
En los límites cocientes de polinomios tendiendo a infinito solo cuenta el término de mayor grado. Si el numerador tiene mayor grado tiende a infinito, si es el denominador el que tiene más grado tiende a cero y si tienen igual grado se efectúa el cociente de los.
En este caso tienen igual grado luego hacemos el cociente de los coeficiente de más grado
lim x-->infinito de log [(x^2-2x+6) / (2x^2+3x-5)] = log (1/2) = -0,6931471
Y eso es todo.