Define implícitamente... Estoy muy liado :)
Hola. Tengo este ejercicio, y no se por donde tirar:
Demostrar que la ecuación
x tg(y) -z*exp(z) =0
Define implícitamente a 'z' como una función, z=f(x, y), de las variables 'x' y 'y' en un entorno del punto (0, pi/4,0).
Hallar la derivada direccional del campo escalar z=f(x, y) en el punto (0, pi/4) según la dirección del vector (2,1).
Gracias. :)
Demostrar que la ecuación
x tg(y) -z*exp(z) =0
Define implícitamente a 'z' como una función, z=f(x, y), de las variables 'x' y 'y' en un entorno del punto (0, pi/4,0).
Hallar la derivada direccional del campo escalar z=f(x, y) en el punto (0, pi/4) según la dirección del vector (2,1).
Gracias. :)
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Veremos si se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita para
F(x,y,z) = x tg(y) - z*exp(z) = 0 en el punto (0,PI/4,0)
Usaremos &F/&x para simbolizar la derivada parcial de la función F respecto a x
1) La función es continua en el punto y vale 0 en él.
F(0,PI/4,0) = 0·1 - 0·1 = 0
2) Las derivadas parciales son continuas en el punto (0, PI/4, 0)
&F/&x = tg(y)
&F/&y = x(1+ tg^2(y))
&F/&z = exp(z)+z·exp(z)
Lo son claramente
3) La derivada parcial respecto z en el punto es direntente de cero
&F(0, PI/4, 0)/&z = exp(0) + 0·exp(0) = 1 + 0 = 1
Y al cumplirse estas condiciones, el teorema de la función implícita nos dice que existe una única función f(x, y) tal que F(x, y, f(x, y)) = 0 en un entorno de ese punto.
---------------------
Para calcular las derivadas parciales de esta f(x, y) respecto a x e y, vamos a hacer las derivadas parciales de la función F
F(x, y, z) = 0 ==>
&F(x,y,z)/&x = 0 ==> derivamos teniendo en cuenta que z es función de x e "y", y por lo tanto debemos derivar respecto a z y usar la regla de la cadena.
tgy - [exp(z)+z·exp(z)] &z/&x = 0 ==>
tgy = [exp(z)+z·exp(z)] &z/&x ==>
&z/&x = tg(y) / [exp(z)+z·exp(z)]
&z(0,PI/4)/&x = 1 / [1 + 0·1] = 1
Hacemos lo mismo para calcular &z(0,Pi/4)/&y derivando F respecto a y
&F(x,y,z)/&y = 0
x(1+tg^2(y)) - [exp(z)+z·exp(z)] &z/&y = 0 ==>
x(1+tg^2(y)) = [exp(z)+z·exp(z)] &z/&y ==>
&z/&y = x(1+tg^2(y)) / [exp(z)+z·exp(z)]
&z(0,PI/4)/&y = 0(1+1) / [1 + 0·1] = 0
Y con estos dos valores que hemos calculado tenemos el gradiente de z en el punto
grad z(0,PI/4) = 1·i + 0·j
Y conocido el gradiente, la derivada direccional se obtiene como el producto escalar del gradiente por el vector unitario de la dirección dada
El vector unitario en la dirección (2,1) es el dividido entre su módulo. Llamaremos sqrt a la raíz cuadrada.
modulo(2,1) = sqrt(2^2 + 1^2 ) = sqrt(5)
vector unitario de la direccón (2,1) = 2/sqrt(5) i + 1/sqrt(5)) j
Hacemos el producto escalar de los vectores gradiente y unitario
derivada direccional pedida = grad z(0,PI/4) · vector unitario =
1 · 2/sqrt(5) + 0 · 1/sqrt(5)) = 2/sqrt(5)
Y ese es el resultado del problema. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
F(x,y,z) = x tg(y) - z*exp(z) = 0 en el punto (0,PI/4,0)
Usaremos &F/&x para simbolizar la derivada parcial de la función F respecto a x
1) La función es continua en el punto y vale 0 en él.
F(0,PI/4,0) = 0·1 - 0·1 = 0
2) Las derivadas parciales son continuas en el punto (0, PI/4, 0)
&F/&x = tg(y)
&F/&y = x(1+ tg^2(y))
&F/&z = exp(z)+z·exp(z)
Lo son claramente
3) La derivada parcial respecto z en el punto es direntente de cero
&F(0, PI/4, 0)/&z = exp(0) + 0·exp(0) = 1 + 0 = 1
Y al cumplirse estas condiciones, el teorema de la función implícita nos dice que existe una única función f(x, y) tal que F(x, y, f(x, y)) = 0 en un entorno de ese punto.
---------------------
Para calcular las derivadas parciales de esta f(x, y) respecto a x e y, vamos a hacer las derivadas parciales de la función F
F(x, y, z) = 0 ==>
&F(x,y,z)/&x = 0 ==> derivamos teniendo en cuenta que z es función de x e "y", y por lo tanto debemos derivar respecto a z y usar la regla de la cadena.
tgy - [exp(z)+z·exp(z)] &z/&x = 0 ==>
tgy = [exp(z)+z·exp(z)] &z/&x ==>
&z/&x = tg(y) / [exp(z)+z·exp(z)]
&z(0,PI/4)/&x = 1 / [1 + 0·1] = 1
Hacemos lo mismo para calcular &z(0,Pi/4)/&y derivando F respecto a y
&F(x,y,z)/&y = 0
x(1+tg^2(y)) - [exp(z)+z·exp(z)] &z/&y = 0 ==>
x(1+tg^2(y)) = [exp(z)+z·exp(z)] &z/&y ==>
&z/&y = x(1+tg^2(y)) / [exp(z)+z·exp(z)]
&z(0,PI/4)/&y = 0(1+1) / [1 + 0·1] = 0
Y con estos dos valores que hemos calculado tenemos el gradiente de z en el punto
grad z(0,PI/4) = 1·i + 0·j
Y conocido el gradiente, la derivada direccional se obtiene como el producto escalar del gradiente por el vector unitario de la dirección dada
El vector unitario en la dirección (2,1) es el dividido entre su módulo. Llamaremos sqrt a la raíz cuadrada.
modulo(2,1) = sqrt(2^2 + 1^2 ) = sqrt(5)
vector unitario de la direccón (2,1) = 2/sqrt(5) i + 1/sqrt(5)) j
Hacemos el producto escalar de los vectores gradiente y unitario
derivada direccional pedida = grad z(0,PI/4) · vector unitario =
1 · 2/sqrt(5) + 0 · 1/sqrt(5)) = 2/sqrt(5)
Y ese es el resultado del problema. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
