Desarrollo de MacLaurin de orden n

No, tienes mal la parte a) el desarrollo de McLaurin es

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 +.....

Y el término complementario de Lagrange si hemos desarrollado por McLaurin hasta el monomio de grado n es

$$T_n = \frac{f^{n+1}(\alpha)}{(n+1)!}x^{n+1}\quad con\;\alpha \in(0,x)$$

En este desarrollo de Taylor-McLaurin los valores de la derivada en 0 son iguales al factorial del denominador ya que los coeficientes son 1. En el término n+1 la derivada es

$$\begin{align}&f^{n+1}(x)= \frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}\\ &\\ &\\ &T_n=\frac{(n+1)!}{(1-\alpha)^{n+2}(n+1)!}x^{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(1-\alpha)^{n+2}}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &T_5=\frac{x^6}{(1-\alpha)^7}\quad con\; 0\lt \alpha \lt x\\ &\\ &\\ &\frac{1}{1-x}=1+x^2+x^3+x^4+x^5+\frac{x^6}{(1-\alpha)^7}\\ &\\ &\\ &1+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{1}{1-x}-\frac{x^6}{(1-\alpha)^7}\\ &\\ &\\ &para\;x= \frac 12\\ &\\ &1+\left( \frac 12 \right)^2+\left( \frac 12 \right)^3+\left( \frac 12 \right)^4+\left( \frac 12 \right)^5=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{1-\frac 12}-\frac{\left( \frac 12 \right)^6}{(1-\alpha)^7}=\\ &\\ &\\ &2-\frac{1}{64(1-\alpha)^7}\quad con\;0\le \alpha \le \frac 12\\ &\end{align}$$

Luego el resultado sería 2.

La función que aparece en el término de Lagrange es creciente, el menor valor lo tiene para alfa=0 y el mayor para alfa=1/2, vamos a calcularlos:

para alfa=0 vale 1/64

para alfa= 1/2 vale

1/(64/128) =2

Pues la acotación del error por el método de Lagrange no es muy buena en el límite superior a simple vista se pueden calcular mejores

1/64 < e < 2

Y eso es todo.