Demostrar por Inducción Matemática
Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio p(x) existe
n E ¥ tal que d^n/dx^n[p(x)]=0 para todo x E ¡
1 Respuesta
Algún símbolo ha salido mal, pero n debe pertenecer a N
Vamos a demostrár primero que para un monomio de grado n la derivada n+1 es cero
Empezaremos por un monomio de grado 0
p(x) = k con k € R
entonces
p'(x) = 0
Luego se cumple para 0
Ahora supongamos que se cumple para un monomio de grado n y veamos que si se cumple para un monomio de grado n+1
p(x) = kx^(n+1) =
usando las reglas de derivación derivamos una vez
p'(x) = k(n+1)x^n
Y esto es un monomio de grado n luego por hipótesis su derivada n+1 es nula
En conjunto derivando n+2 veces p(x) tenemos el polinomio nulo, luego se cumple la inducción y por lo tanto queda demostrado que un monomio de grado n se anula en n+1 derivadas.
Asimismo también sabemos que la derivada del polinomio nulo es 0. luego añadido a lo anterior nos dice que dado un monomio de grado n las derivadas n+1 y sucesivas son todas nulas.
Entonces dado un polinomio de grado n la derivada n+1 es la suma de las derivadas n+1 de todos sus monomios que son todas nulas y por lo tanto es nula.
Y eso es todo.
