EUtilice desarrollos limitados para calcular el siguiente límite

Haremos los desarrollos de Taylor de las funciones senx, cosx y sen2(x). Seguramente los dos primeros ya los habrás hecho alguna vez y podría darlos por conocidos pero lo hago todo. En realidad al desarrollo se la llama de McLaurin porque es en el punto x=0

f(x) = f(0) + f '(0)·x + f''(0)·x^2/ 2! + f'''(0)·x^3/3! + ... + fn(0)·x^n/n!

(senx) ' = cosx ==> (sen0)' = 1

(senx)'' = -senx ==> (sen0)'' = 0

(senx)''' = -cosx ==> (sen0)''' = -1

(senx)'''' = senx ==> (sen0)'''' = 0

Y se repite la función inicial y se repite el ciclo indefinidamente

senx = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/7! + ...

(cosx)' = -senx ==> (cos0)' = 0

(cosx)'' = -cosx ==> (cosx)'' = -1

(cosx)''' = senx ==> (cosx)''' = 0

(cosx)'''' = cosx ==> (cosx)'''' = 1

Y como se repite la función se repetirá el ciclo

cosx = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/6! `+ ...

[sen^2(x)]' = 2senx·cosx = sen(2x) ==> [sen^2(0)]' =0

[sen^2(x)]'' = 2cos(2x) ==> [sen^2(0)]'' = 2

[sen^2(x)]''' = -4sen(2x) ==> [sen^2(0)]''' = 0

[sen^2(x)]'''' = -8cos(2x) ==> [sen^2(0)]'''' = -8

[sen^2(x)]''''' = 16sen(2x) ==> [sen^2(0)]''''' = 0

Y ya se repite el ciclo con la primera derivada en la función sen(2x) aunque el coeficiente se multiplica por 2 en cada paso

sen^2(x) = x^2 - x^4/3 + (32/720)x^6 - (128/8!)x^8 =

x^2 - x^4/3 + (2/45)x^6 - x^8/315 + ...

Espero que sirva con esto, trabajar con la expresión general es más complicado. Es más, solo voy a tomar los dos primeros términos

(senx - x·cosx) / sen^2(x) =

(x - x^3/6 +... - x + x^3/2 - ....) / (x^2 - x^4/3 +...) =

[x^3(-1+3)/6 + ...] / (x^2 - x^4/3 +...) =

(x^3/3 + ...) / (x^2 + x^4/3 +...) =

(x/3 + ...) / (1 + x^2/3 +...) =

y el límite de esto cuando x --> 0 es

0 / 1 = 0

Luego el límite es 0.

Y eso es todo.