Consulta: |7+2x| <= |5+3x|

Te estas olvidando de las condiciones. Quitar un módulo implica tomar condiciones
para luego hacer intersección.
Las condiciones son:
7+2x>0 ó 7+2x<0
y
5+3x>0 ó 5+3x<0
según corresponda.
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Veamos. Si a partir de
|7+2x| <= |5+3x|
yo escribo
7+2x <= |5+3x| (quito el modulo de 7+2x)
significa que estoy considerando el caso en que es 7+2x>0
Si por el contrario escribo
-(7+2x )<= |5+3x|
7+2x >= -|5+3x|
significa que estoy considerando el caso en que es 7+2x>0
Lo mismo:
cuando reemplazo |5+3x| por 5+3x debo agregar la condición:
5+3x>0
Cuando reemplazo |5+3x| por -(5+3x) debo agregar la condición
5+3x<0
Haciendo en cada caso la intersección correspondiente, después hacemos las union de los resultados. Como es fácil perderse es preferible proceder de la por intervalos de por o zonas como sigue:
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La expresión: 7+2x anula en x =-7/2
y allí pasa de negativa a positiva
La expresión: 5+3x se anula en x =-5/3
Y allí pasa de negativa a positiva
Entonces hay tres zonas de por
i) (-oo;-7/2] (las dos negativas)
ii) [-7/2;-5/3] (una positiva y la otra negativa)
iii) [-5/3;+oo) (las dos positivas)
Comencemos por la
zona iii ) [-5/3;+oo)
Aquí ambas expresiones son positivas así que les quitamos los módulos sin más
7+2x<= 5+3x
2<=x es decir [2;+oo]
[2;+oo] intersección [-5/3;+oo) da ..... [2;+oo]
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zona ii) [-7/2;-5/3]
Ahora 5+3x es negativa y 7+2x es positiva . Entonces
7+2x<= -(5+3x)
5x<=-12
x<=-12/5 es decir [-oo;-12/5]
[-oo;-12/5] intersección con [-7/2;-5/3] da .... [-7/2;-12/5]
zona i) (-oo;-7/2]
Aquí ambas expresiones son negativas y es
-(7+2x)<= -(5+3x)
(7+2x)>= (5+3x)
2>=x
x<=2 es decir [-oo;2]
[-oo;2] intersección con (-oo;-7/2] da ... (-oo;-7/2]
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Ahora la unión de los tres es:
(-oo;-7/2]U [-7/2;-12/5]U[2;+oo]
que da
(-oo;-12/5] U[2;+oo)
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