Ecuación diferencial
Tengo esta ecuación diferencial y no he podido resolverla, me gustaría saber si puedes ayudarme.
dy/dx= k(ay^3 + by^m - cy^2)^1/2
donde k,a,b,m,c son constantes
dy/dx= k(ay^3 + by^m - cy^2)^1/2
donde k,a,b,m,c son constantes
1 Respuesta
Respuesta de eudemo
1
La ecuación es de variables separables, ya que derivada
dy/dx= k(ay^3 + by^m - cy^2)^1/2 (1)
solo depende de y. La solución surge de:
dy/(ay^3+by^m-cy^2)^(1/2)=k dx
Integral dy /(ay^3 + by^m - cy^2)^(1/2) = Integral k dx
Integral dy /(ay^3 + by^m - cy^2)^(1/2) = k x + CONSTANTE (2)
El problema es que la integral, que sería una función de y, de a, de b, de c y de m es imposible de expresar en general. Aún dándole valores a las constantes a, b, c, m en la gran mayoría de los casos no obtenemos una integral expresada en forma sencilla. A lo único que podemos aspirar en este problema es a una solución numérica de por para valores particulares de las constantes a, b, c, que y de la variable y.
Para que sea más intuitivo el significado de la CONSTANTE que aparece en la (2) es mejor pensar por como función de y x=f(y). De esta función conocemos la derivada que es
dx /dy=(1/k) (ay^3 + by^m - cy^2)^(-1/2)
consecuentemente:
x= xo+Integral (1/k) (ay^3 + by^m - cy^2)^(-1/2) dy
La integral es definida desde 0 hasta y. El valor pero se elige arbitrariamente (como una constante) y es el valor que tendrá por cuando y=0. La integral hay que evaluarla por métodos numéricos porque en general no tiene una forma explícita. Así obtendríamos una serie de puntos en el plano x_y.
Repito todo esto hay que hacerlo para cada valor de las constantes. ¡Menuda tarea!
Ahora bien si quieres tener una idea de cómo será la función puedes ver que para m distinto de cero la derivada en (1) se anula en y=0. Efectivamente para y=0 se anula ay^3 + by^m - cy^2 (siempre y cuando m no sea nulo)
Por lo tanto el eje por es tangente a la curva la curva o también puede ser que el eje por sea una asíntota. (lo que ocurre para a=b=0)
Cuando ay^3 + by^m - cy^2 se haga negativo la curva termina (nuevamente con tangente horizontal en su extremo final) ya que no existe raíz real de un numero negativo.
En fin, a partir de aquí todo depende de los valores de las constantes.
Este problema me parece, probablemente, que proviene de un problema de física.
Es muy común que para tratar con un problemas complejos, haya que analizarlos solo para ciertos valores particulares de las constantes y a partir de allí comenzar la investigación.
Cordiales saludos,
eudemo
dy/dx= k(ay^3 + by^m - cy^2)^1/2 (1)
solo depende de y. La solución surge de:
dy/(ay^3+by^m-cy^2)^(1/2)=k dx
Integral dy /(ay^3 + by^m - cy^2)^(1/2) = Integral k dx
Integral dy /(ay^3 + by^m - cy^2)^(1/2) = k x + CONSTANTE (2)
El problema es que la integral, que sería una función de y, de a, de b, de c y de m es imposible de expresar en general. Aún dándole valores a las constantes a, b, c, m en la gran mayoría de los casos no obtenemos una integral expresada en forma sencilla. A lo único que podemos aspirar en este problema es a una solución numérica de por para valores particulares de las constantes a, b, c, que y de la variable y.
Para que sea más intuitivo el significado de la CONSTANTE que aparece en la (2) es mejor pensar por como función de y x=f(y). De esta función conocemos la derivada que es
dx /dy=(1/k) (ay^3 + by^m - cy^2)^(-1/2)
consecuentemente:
x= xo+Integral (1/k) (ay^3 + by^m - cy^2)^(-1/2) dy
La integral es definida desde 0 hasta y. El valor pero se elige arbitrariamente (como una constante) y es el valor que tendrá por cuando y=0. La integral hay que evaluarla por métodos numéricos porque en general no tiene una forma explícita. Así obtendríamos una serie de puntos en el plano x_y.
Repito todo esto hay que hacerlo para cada valor de las constantes. ¡Menuda tarea!
Ahora bien si quieres tener una idea de cómo será la función puedes ver que para m distinto de cero la derivada en (1) se anula en y=0. Efectivamente para y=0 se anula ay^3 + by^m - cy^2 (siempre y cuando m no sea nulo)
Por lo tanto el eje por es tangente a la curva la curva o también puede ser que el eje por sea una asíntota. (lo que ocurre para a=b=0)
Cuando ay^3 + by^m - cy^2 se haga negativo la curva termina (nuevamente con tangente horizontal en su extremo final) ya que no existe raíz real de un numero negativo.
En fin, a partir de aquí todo depende de los valores de las constantes.
Este problema me parece, probablemente, que proviene de un problema de física.
Es muy común que para tratar con un problemas complejos, haya que analizarlos solo para ciertos valores particulares de las constantes y a partir de allí comenzar la investigación.
Cordiales saludos,
eudemo
