Ley de gauss
Hola! Soy estudiante de ingeniería industrial y me gustaría que me aclararas algunos problemillas... T pondré un ejemplo concreto : ¿Cómo aplico la ley de gauss para la siguiente distribución de carga?
ro(x)=cte para |x|(modulo de x)<a
ro(x)=0 para |x|>a
Se que tengo que coger una superficie gaussiana con forma de cilindro pero no me aclaro mucho con los limites de integración.(No hace falta que me expliques todo el problema)
Así mismo si me pudieras generalizar (brevemente ;básicamente los pasas que hay que seguir )la ley de gauss .
Muchas gracias!
ro(x)=cte para |x|(modulo de x)<a
ro(x)=0 para |x|>a
Se que tengo que coger una superficie gaussiana con forma de cilindro pero no me aclaro mucho con los limites de integración.(No hace falta que me expliques todo el problema)
Así mismo si me pudieras generalizar (brevemente ;básicamente los pasas que hay que seguir )la ley de gauss .
Muchas gracias!
1 respuesta
Respuesta de eudemo
1
La ley de gauss te será útil solamente en los casos en que la distribución de cargas presenta algún tipo de simetría. Esa simetría permite conocer la dirección que tendrá el campo eléctrico.
En nuestro caso es :
ro(x) = cte para |x|(modulo de x)<a
ro(x) = 0 para |x|>a
Vemos que la densidad volumétrica de carga ro, no depende ni de y ni de z, solo depende de x. Por lo tanto, deducimos por simetría que el campo eléctrico solo tiene componente en x . Las componentes Ey, Ez son nulas.
____________________________
Flujo del campo eléctrico:
El flujo del campo eléctrico a través de un elemento de área es el producto de E por el área por el coseno del ángulo que forma E con la normal a la superficie. El truco consiste en hacer que el ángulo sea o bien cero o bien noventa grados. Entonces nuestra superficie gaussiana debe ser o bien paralela a x o perpendicular a x . Un cilindro con las bases perpendiculares al eje x cumple con estas condiciones:
1) Las bases son paralelas al plano yz (son perpendiculares a x).
2) La superficie lateral es perpendicular al plano yz (paralela a x)
Como el campo eléctrico es paralelo al eje x entonces el flujo en las superficies laterales es cero (coseno del ángulo = 0). Para calcular el flujo total de E basta con calcular el flujo de E en las bases (coseno del angulo =1).
El flujo es simplemente
flujo = 2 E área de la base
El factor dos se debe a que el cilindro tiene dos bases: una a la izquierda y otra a la derecha.
____________________________
Carga encerrada en el cilindro:
El cilindro debe extenderse lo suficiente como para incluir todas las x en donde hay carga. En nuestro caso significa que el cilindro va mas allá de |x| = a. Por lo tanto el volumen que encierra carga es
Volumen = área de la base . a
Aunque el cilindro se extienda más allá de x=a esto no agrega carga ya que la densidad de carga se hace cero. La carga encerrada es entonces
Q = ro . Volumen
Q = ro . área de la base.a
donde ro=cte
_________________________
Ahora aplicamos la ley de gauss:
Flujo de E = Q/eo
2 E . area de la base = ro . área de la base.a/eo
El area de la base se simplifica y queda
2 E = ro.a /eo
E = ro.a /2eo
El valor de ro=cte es una densidad volumétrica de carga y se mide en Coulombs/ metro cúbico
Al multiplicar ro por a obtenemos una densidad superficial de carga que se mide en Coulombs/ metro cuadrado. (Se la designa con sigma)
Asi surge la conocida formula
E = sigma /2eo
válida para planos de carga infinitos.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
El los casos en que la distribución de carga tiene simetría esférica la superficie gaussiana debe ser un esfera.
En los casos en que la distribución de carga tiene simetría cilíndrica (como varillas infinitas o cilindros infinitos) la superficie gaussiana debe ser un cilindro limitado por planos normales al eje.
De modo que al calcular el flujo del campo eléctrico tengamos solamente sectores donde el campo es normal a la superficie (coseno=1) que son los que importan y sectores donde el campo es paralelo a la superficie (coseno=0) que no aportan flujo.
En nuestro caso es :
ro(x) = cte para |x|(modulo de x)<a
ro(x) = 0 para |x|>a
Vemos que la densidad volumétrica de carga ro, no depende ni de y ni de z, solo depende de x. Por lo tanto, deducimos por simetría que el campo eléctrico solo tiene componente en x . Las componentes Ey, Ez son nulas.
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Flujo del campo eléctrico:
El flujo del campo eléctrico a través de un elemento de área es el producto de E por el área por el coseno del ángulo que forma E con la normal a la superficie. El truco consiste en hacer que el ángulo sea o bien cero o bien noventa grados. Entonces nuestra superficie gaussiana debe ser o bien paralela a x o perpendicular a x . Un cilindro con las bases perpendiculares al eje x cumple con estas condiciones:
1) Las bases son paralelas al plano yz (son perpendiculares a x).
2) La superficie lateral es perpendicular al plano yz (paralela a x)
Como el campo eléctrico es paralelo al eje x entonces el flujo en las superficies laterales es cero (coseno del ángulo = 0). Para calcular el flujo total de E basta con calcular el flujo de E en las bases (coseno del angulo =1).
El flujo es simplemente
flujo = 2 E área de la base
El factor dos se debe a que el cilindro tiene dos bases: una a la izquierda y otra a la derecha.
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Carga encerrada en el cilindro:
El cilindro debe extenderse lo suficiente como para incluir todas las x en donde hay carga. En nuestro caso significa que el cilindro va mas allá de |x| = a. Por lo tanto el volumen que encierra carga es
Volumen = área de la base . a
Aunque el cilindro se extienda más allá de x=a esto no agrega carga ya que la densidad de carga se hace cero. La carga encerrada es entonces
Q = ro . Volumen
Q = ro . área de la base.a
donde ro=cte
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Ahora aplicamos la ley de gauss:
Flujo de E = Q/eo
2 E . area de la base = ro . área de la base.a/eo
El area de la base se simplifica y queda
2 E = ro.a /eo
E = ro.a /2eo
El valor de ro=cte es una densidad volumétrica de carga y se mide en Coulombs/ metro cúbico
Al multiplicar ro por a obtenemos una densidad superficial de carga que se mide en Coulombs/ metro cuadrado. (Se la designa con sigma)
Asi surge la conocida formula
E = sigma /2eo
válida para planos de carga infinitos.
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El los casos en que la distribución de carga tiene simetría esférica la superficie gaussiana debe ser un esfera.
En los casos en que la distribución de carga tiene simetría cilíndrica (como varillas infinitas o cilindros infinitos) la superficie gaussiana debe ser un cilindro limitado por planos normales al eje.
De modo que al calcular el flujo del campo eléctrico tengamos solamente sectores donde el campo es normal a la superficie (coseno=1) que son los que importan y sectores donde el campo es paralelo a la superficie (coseno=0) que no aportan flujo.
