Campo eléctrico en una esfera
Tengo una duda con este problema
Sea una esfera maciza de radio R=9.4m, cargada uniformemente con densidad de carga ρ=9.6C/m3. Se pide calcular el campo eléctrico Ε en cualquier punto del espacio en función de la distancia al centro de la esfera, e indicar a continuación su módulo 
, en N/C, en un punto situado a una distancia r=0.7R.
Nota: puede calcularse el campo eléctrico a una distancia r del centro de la esfera de forma sencilla utilizando el teorema de Gauss, y considerando para ello una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera del problema.
1 respuesta
La ley de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0. Por si no se ve bien diré que es la constante épsilon sub cero.
Con ello tenemos
$$\begin{align}&\varPhi=\oint_S \vec E· d\vec S= \frac{q}{\epsilon_0}\\ & \end{align}$$No sé hasta que punto te pidan demostrar que el flujo en cada punto de la superficie de la esfera es constante y tiene dirección perpendicular a ella. Es por simetría, no podría ser un flujo no constante ni con otra dirección. Tomamos una esfera de radio r con r >R, toda la carga está dentro.El vector superficie de la esfera de radio r y el vector campo son paralelos y el flujo es:
$$\begin{align}&\varPhi=\oint_S \vec E· d\vec S= E\int_SdS=4\pi Er^2 =\frac{q}{\epsilon_0}\\ & \\ & 4\pi Er^2 =\frac{q}{\epsilon_0}\\ & \\ & \text{La carga q se obtiene a traves de la densidad}\\ & q=\rho·\frac 43\pi R^3\\ & \\ & 4\pi Er^2=\frac 43·\frac{\rho\pi R^3}{\epsilon_0}\\ & \\ & E=\frac 43·\frac 14·\frac{\rho\pi R^3}{4\pi\epsilon_0 r^2}= \frac {\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}\\ &\\ &\text{En forma vectorial es:}\\ &\\ &\vec E=\frac {\rho R^3}{3\epsilon_0 r^3}\vec r\\ &\\ &\vec E=\frac {9.6 \,·\;9.4^3}{3\epsilon_0 r^3}\vec r =\frac{2657.8688}{\epsilon_0r^3}\vec r\\ & \end{align}$$Bueno lo del campo en los puntos interiores y la solución en r=0.7R lo dejo para más tarde, ahora no puedo.
Si el punto esta dentro de la esfera entonces r<R y dentro de la esfera de radio r solo habra la cantidad de carga que corresponda a la esfera de ese radio. Luego donde antes había R habrá que poner r
$$\begin{align}&\vec E = \frac{\rho r^3}{3\epsilon_0r^3}\vec r=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\vec r\\ &\\ &||r||=0.7·9.4m = 6.58m\\ &\\ &\vec E=\frac{9.6·6.58}{3\epsilon_0}\vec r_u=\frac{21.056}{\epsilon_0}\vec r_u\\ &\\ &Como \;\epsilon_0=8.854187817·10^{-12}\\ &\\ &\vec E=2.378083731 · 10^{12}\vec r_u \\ &\\ &\text{y esto va medido en N/C}\\ &\\ &y\; \vec r_u\text{ es el vector unitario en la dirección del radio}\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
