Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su suma vale 12 y su producto -216

Los números en progresión geométrica se construyen mediante la fórmula

$$\begin{align}&S_n = a r^n\\&\text{No lo dice, pero supongo que son números sucesivos, así que los mismos podrían ser:}\\&S_{n-1} = a r^{n-1}\\&S_n = a r^n\\&S_{n+1} = a r^{n+1}\\&\text{Usamos los otros datos que nos dan, o sea:}\\&a r^{n-1} + a r^n + a r^{n+1} = 12\\&a r^{n-1} \cdot a r^n \cdot  a r^{n+1} = -216\\&Reacomodando\\&a r^{n-1}(1 + r + r^{2}) = 12 = 2^2 \cdot 3\\&a^3 r^{3n} = -216 = - 2^3 \cdot 3^3\\&\text{Como te piden hallar 3 números (en principio cualesquiera), para }\\&\text{simplificar asumamos primero que n=1}\\&a (1 + r + r^{2}) = 2^2 \cdot 3\\&a^3 r^{3} = - 2^3 \cdot 3^3 \to ar = -6\\&\\&\\&\end{align}$$

y la verdad que hasta ahí llegué, al no tener más datos, lo único que se me ocurre es 'prueba y error' pero eso puede ser interminable