Teorema sobre biyectividad de la composición
Si las funciones f de A en B y g de B en C son biyectivas, entonces g compuesta en f de A en C es biyectiva. Esto lo entiendo. Lo que no me queda claro es si la tesis de este enunciado significa que además, dicha composición siempre será posible.
Por supuesto que es posible tal composición
$$\begin{align}&f:A\to B \wedge g:B\to C \text{ La composición $f$ con $g$ es escribe $g \circ f$ y se define}\\&\\&(g\circ f)(x)=\left\{y\in \text{Ran }g~|~ \forall x\in\text{Dom }f,\exists z\in \text{Ran }f\cap \text{Dom }g~\wedge ~y=g(z)\right\} \end{align}$$Ahora la composición f o g pueda que no exista, si hacemos que los conjuntos A y C sean disjuntos
Qué tal. Gracias por tu respuesta.
Creo que no me explique bien. Una disculpa. La pregunta es, que si se cumple que la biyectividad de las funciones f que va de A a B y g que va de B a C implica que siempre existe la función (g o f) que va de A a C; es decir, para cualquier f y g biyectivas así definidas que se desee tomar.
Por definición y la hipótesis del problema la composición g o f siempre existe, la pregunta es si tal composición es biyectiva. Entonces demostrémoslo por reducción al absurdo, supongamos que (g o f) no sea biyectiva en A --> C
De esto supongamos dos cosas
1) Que g o f no esté definida, (g o f)(x) = indefinido, es decir x ∈ Dom (f) tal que x no tenga correspondencia en C. Como x ∈ Dom (f) = A entonces existe un y ∈ Ran(f) = B tal que y = f(x), por la biyectividad de la función g, siempre existe un z ∈ Ran(g) = C, que cumple
z = g(y) = g(f(x)) = (g o f)(x)
Por ende entramos en contradicción
2) Que (g o f )(x) = z, donde z ∉ C. Por ser f biyectiva, siempre existe un y ∈ B tal que y = f(x), por la biyectividad de g, siempre existe un z'∈ C tal es que z' = g(y), o sea (g o f)(x) = z' entrando así en conflicto con la definición de función, por ende una contradicción.
En ambos casos, al suponer que (g o f) no sea biyectiva entramos en contradicción. Con eso probamos que (g o f) es biyectiva si f y g también lo son. Lo recíproco no siempre es cierto.
Aunque aun podemos expandir los casos a dos más, (3) que (g o f) sea solo inyectiva, (4) que (g o f) sea solo sobreyectiva. La demostración se deduce de las propiedades biyectivas de f y g, es decir que se tiene una demostración directa.
Para cada x en A siempre hay un y en B, y para cada y en B hay un z en C, por transitividad para cada x en A siempre hay un solo z en C
Lo de arriba es solo una sugerencia para presentar una demostración, Ud. debe agregar los detalles.
Creo que estoy a punto de comprenderlo.
¿Si la tesis dice - (g o f) es biyectiva - se da por entendido que dicha composición siempre existe independientemente de que sea biyectiva o no?
¿O más bien debería decirse: si existe (g o f) entonces está composición es biyectiva?
La composición de funciones y la biyectividad son cosas diferentes, así como existen funciones biyectivas y como no también, (g o f), que es una función, puede ser biyectiva como no serlo.
Ejemplo:
sea f(x) = x² y g(x) = √x, entonces (g o f)(x) = g[f(x)] = g(x²) = √(x²) = |x|
En este caso f es sobreyectiva y la función g es biyectiva, pero (g o f) es sobreyectiva
