Factorización caso 8 Cubo perfecto de Binomios

Si tiene raices racionales, entonces las candidatas están entre los divisores del término independiente dividido los divisores del coeficiente principal (tanto positivos como negativos)

En este caso,

Término independiente = 1 > Divisores { ±1}

Coef Principal = 8 > Divisores {±1, ±2, ±4, ±8}

Por lo que los posibles divisores serán: {±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8}

Si aplicás Ruffini, verás que una raíz es -1/2, quedando la expresión reducida a:

(8x^2 + 8x + 2) (x + 1/2)

Si volvemos a aplicar el mismo procedimiento a la expresión 8x^2 + 8x + 2, tenemos que la raíz vuelve a ser -1/2, quedando la expresión

(8x + 4)(x + 1/2)^2

Pero si miramos el primer término, podemos sacar factor común 8 (para que el coeficiente principal sea 1), quedando la expresión

8 (x + 1/2) (x + 1/2)^2 = 8 (x + 1/2)^3

La expresión es la A, pero como no queda tan claro, entonces vamos a tomar los valores nuevamente y reescribirlos del siguiente modo.

Tenemos: (8x^2 + 8x + 2) (x + 1/2)

El factor lineal está con coeficiente principal 1 y las expresiones que nos dan dice 2, así que voy a multiplicar esa expresión por 2 (¿de dónde saco el 2?, de sacar factor común en la primer expresión), lo voy a hacer en dos pasos, para que se entienda

(8x^2 + 8x + 2) (x + 1/2) = 2 (4x^2 + 4x + 1) (x + 1/2)

Y ya tengo el 2 que necesitaba para multiplicar el segundo factor, asi que lo anterior es igual a

(4x^2 + 4x + 1) (2x + 1)

Ahora aplico Ruffini nuevamente a la primer expresión, quedando

(4x + 2) (x + 1) (2x + 1)

Calculo que ya sabés a donde voy, así que voy a sacar factor común 2 en la primer expresión y ese valor lo uso para multiplicar la segunda

(2x + 1) (2x + 1) (2x + 1) = (2x + 1)^3

Que verifica la opción A

Como ves, en este caso lo compliqué porque lo quise hacer completo asumiendo que no tenés las resultados posibles, sinceramente en este caso era más fácil agarrar los dos resultados posibles y hacer las cuentas a ver cual da el polinomio original.

Respecto al 2, tienes un solo posible resultado, así que te diría que hagas ese cubo para ver si da el resultado que plantea el ejercicio

Salu2

Factorizar m^5+n^5 entre m+n *

A. (m+n)(m^4-m^3n+m^2n^2-mn^3+n^4)

B. m+n)(m^4+m^3n+m^2n^2+mn^3+n^4)

C. No es posible realizar la factorización
Factorizar a^5-b^5 entre a-b *

A. (a-b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)

B. (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)

C.No es posible realizar la factorización