Como puedo resolver el siguiente planteamiento?

Hallar el numero de seis cifras que sea múltiplo de 3 más 1, de 5 más 3, de 7 más 5 y de 11 más 9.

1 Respuesta

Respuesta
1

¿Lo necesitas resuelto de alguna manera en específica?

Me lo piden por métodos aritméticos

Disculpa la tardanza. Me imagino te refieres aritmética modular, que menos mal porque no se me ocurría otra forma. Aunque no debería haber una respuesta única (Lo estoy resolviendo ahorita, no conozco la respuesta). Si tienes alguna duda me dices. Voy a intentar explicarlo lo más detallado posible porque no es algo tan sencillo

Es un sistema de ecuaciones de esta manera donde x es el numero desconocido

$$\begin{align}&1)x \equiv 1 (mod \ 3)\\&2)x \equiv 3 (mod \ 5)\\&3)x \equiv 5 (mod \ 7)\\&4)x \equiv 9 (mod \ 11)\end{align}$$

Recuerda si tenemos

$$\begin{align}&a \equiv b (mod \ n)\end{align}$$

Significa que a es un numero de la forma nk+b donde k es un numero cualquiera 

ejemplo 4 mod 3 es 1 porque es de la forma 3k+1, en este caso k=1

Usando la primera ecuación tenemos que 

x=3k+1

Sustituyéndola en la segunda ecuación

$$\begin{align}&3k+1 \equiv 3 (mod \ 5)\\&3k \equiv 2 (mod \ 5)\\&-2k \equiv 2  (mod \ 5)\\&k\equiv -1 (mod \ 5)\\&k\equiv4 (mod \ 5)\\&\\&k=5l+4\end{align}$$

"Pasamos" el 1 "restando", tenemos 3k y es lo mismo que 5k-2k (5k debido a que es mod 5 y el -2 para que sea igual), 5k es divisible entre 5, solo queda el -2k. Como son primos entre si el 2 y el 5 no hay problema y podemos dividir entre -2 ambos lados, nos queda el -1 a la derecha, le sumas el valor del mod -1+5=4 

Tenemos el valor de k, y vamos a sustituirla en la primera

x=3k+1=3(5l+4)+1

x=15l+13

Ahora tenemos un nuevo valor de x (que cumple las primeras dos condiciones, ahora vamos a sustituirlo en la tercera ecuacion), este procedimiento lo aplicamos tantas veces como ecuaciones nos den

$$\begin{align}&15l+13\equiv5(mod \ 7)\\&15l\equiv-8(mod \ 7)\\&l\equiv6(mod \ 7)\\&\\&l=7r+6\end{align}$$

El 13 pasa restando, el 15 con respecto a mod 7 es equivalente a 1, y el -8 sumándole 7 da -1 sumándole 7 de nuevo da 6, tenemos el valor de l

sustituyendo en el valor de x que tenemos

x=15l+13=15(7r+6)

x=105r+103

Y esta la sustituimos en la ultima

$$\begin{align}&105r+103\equiv 9 (mod \ 11)\\&105r\equiv -94 (mod \ 11)\\&6r\equiv 5 (mod \ 11)\\&-5r\equiv5(mod \ 11)\\&r\equiv-1(mod \ 11)\\&r\equiv10(mod \ 11)\\&\\&r=11t+10\end{align}$$

103 restando,105 mod 11 es equivalente a 6, y -94 sumándole 99 (9 veces 11), nos da 5

6r=11r-5r (aplicando lo mismo que usé para hallar k), nos queda -5r, como 5 y 11 son primos entre si no hay problema, dividimos entre -5, -1+11=10, y ya tenemos r

x=105r+103=105(11t+10)

x=1155t+1153

Todos los números de esta forma cumplen las condiciones que pediste, te puede ser cualquier valor entero, no importa cual pongas siempre lo va a cumplir, ahora nos pide que sea de 6 dígitos

pues si hacemos t=86

x=100483, y puedes probar que cumple todas las condiciones(ya lo confirmé)

pero también si usas t=87 o t=93 o cualquier valor de t hasta t=864 te dan números de 6 digitos que cumplan esta igualdad

¡Gracias! 

Te agradezco por tu tiempo

Lo explicaste muy bien (:

Muchas gracias

A tu orden, en la tercera ecuación de x me faltó poner el +13 en uno de los pasos pero puse el resultado correcto

Bueno

Lo tendré en cuenta

x=15l+13=15(7r+6)+13****

x=105r+103

Ahí me faltó el 13

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas