¿Cómo puedo resolver el siguiente ejercicio matemático?

Debes usar la propiedad

$$\begin{align}&log(a^b)=b \cdot log(a)\end{align}$$

y además sabiendo que

$$\begin{align}&log_a(a)=1\\&y\\&log_a(b)=\frac{log_c(b)}{log_c(a)}\end{align}$$

Con esas tres propiedades de logaritmo deberías poder resolverlo. Inténtalo y si te trabas vuelve por aquí.

Salu2

Exacto, utilicé la primera propiedad y luego paso todo a un miembro para dejar la por al otro miembro, llego a utilizar también el cambio de base pero no estoy pudiendo llegar a la respuesta

Para dejas la "x" al otro miembro quise decir

Ok, pon lo que hiciste para ver hasta donde llegaste y a partir de ahí vemos que te falta...

Salu2

El primer paso es correcto, pero no sé de donde sacás el log en el lado derecho en el segundo paso... yo lo haría así...

$$\begin{align}&a^{b^x}=c\\&b^x=log_a(c) \text{....(este es tu paso, que es correcto)}\\&\text{Ahora aplico logaritmo en base b}\\&x = log_b(log_a(c))\end{align}$$

y como vez fue mucho más sencillo de lo que pensabas...

Salu2

¿Cómo hiciste para pasar tu b al otro miembro?

Lo que esta haciendo tu b si bajas la por estaría multiplicando, y para pasar la b al otro miembro tendría que pasar dividiendo, ¿cómo se convierte en producto?

Me edita el texto automáticamente, quise decir si bajas la "x" estaría multiplicando...

No entiendo tus preguntas: intentaré escribir de nuevo todo haciendo los comentarios en cada caso..

$$\begin{align}&a^{b^x}=c     \mbox{ (esta es tu expresión original)}\\&\text{Aplico log a ambos lados}\\&b^x = log_a(c) \text{ (hasta acá habías llegado vos, solo que los habías escrito al revés, pero es lo mismo)}\\&\text{Y en este punto, vuelvo a aplicar logaritmo, solo que ahora en base b}\\&x = log_b(log_a(c)) \text{ (LISTO)}\\&\text{Lo voy a hacer una vez más, paso por paso, pero \sin describir lo que estoy haciendo}\\&...\\&a^{b^x}=c\\&log_a(a^{b^x})=log_a(c)\\&b^x \cdot log_a(a)=log_a(c)\\&b^x \cdot 1=log_a(c)\\&b^x =log_a(c)\\&log_b(b^x) =log_b(log_a(c))\\&x \cdot log_b(b) =log_b(log_a(c))\\&x \cdot 1 =log_b(log_a(c))\\&x  =log_b(log_a(c))\end{align}$$

Te recomiendo que repases las propiedades de logaritmo y hagas unos cuantos ejercicios...

Salu2