Encuentra una base para una topología de Z × Z que modele adecuadamente el plano digital.

Plano Digital

Una pantalla digital (como el de un reloj digital) consiste de un arreglo rectangular de pixeles como el que se muestra en la Ilustración 1. La parte visible de la pantalla son los cuadros grises (pixeles); las líneas blancas no se ven en la pantalla, solo se muestran en la figura para distinguir los pixeles.

Este arreglo de pixeles se puede modelar usando un espacio topológico que se conoce como plano digital. El conjunto del plano digital es ℤ × ℤ y el objetivo de esta actividad es que tú definas la topología del plano digital.

1. Considera el conjunto Z × Z = {(𝑎𝑎, 𝑏𝑏): 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℤ}.

2. Encuentra una base para una topología de Z × Z que modele adecuadamente el plano digital. Para ello:

i. Encuentra una colección de subconjuntos de Z × Z que tenga las propiedades que definen una base de topología.

Ii. Además, la colección que has encontrado debe modelar adecuadamente la estructura de pixeles y adyacencias que hay en una pantalla digital. Las características que debes tomar en cuenta son:

a) Debe haber puntos que representen a los pixeles. Estos puntos deben formar cada uno un conjunto abierto (como en el caso de la línea digital).

b) Debe haber puntos que representen las fronteras verticales.

c) Debe haber puntos que representen las fronteras horizontales.

d)Debe haber puntos que representen a los vértices o esquinas, donde convergen 4 pixeles.

Nota: Debes definir un elemento de la base para cada elemento del plano digital (a, b, c y d). Los elementos de la base deben expresar las relaciones de cercanía de cada elemento del plano digital. Por ejemplo, una frontera vertical tiene “cerca” a dos pixeles, el elemento de la base asociado a una frontera vertical debe tener a esos dos pixeles).