Determinar sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas

1) a_n = (n+1) / (2n)

Veamos algunos términos

a_1 = 2 / 2 = 1

a_2 = 3 / 4 = 0.75

a_3 = 4 / 6 = 0.66...

Parece ser decreciente, veamos si esto es así, para eso vemos si se cumple que a_{n+1} - a_n < 0

$$\begin{align}&a_{n+1} - a_n = \frac{n+1+1}{2 (n+1)} - \frac{n+1}{2n} = \frac{n+2}{2n+2} - \frac{n+1}{2n} =\\&\frac{2n(n+2)-(2n+2)(n+1)}{(2n+2)(2n)}=\frac{2n^2+4-2n^2-2n-2n-2}{(2n+2)(2n)}=\\&\frac{-4n+2}{(2n+2)(2n)} \text{el númerador es siempre negativo, mientras en denominador es siempre positivo, por lo tanto}\\&< 0\end{align}$$

Como la función es decreciente, la cota superior será a_1 (=1) y la cota inferior será el límite cuanto n tiende a infinito (que en este caso es 1/2)

2) 8,3,-2,-7,-12,…

Se ve que cada término es el anterior menos 5 por lo cual la sucesión es decreciente, la cota superior es 8, pero no tiene cota inferior

3) Progresión aritmética

 Un=10-3n

Veamos algunos...

U_1 = 10-3 = 7

U_2 = 10 - 6 = 4

U_3 = 10 - 9 = 1

U_4 = 10 - 12 = -2

Se ve que cada término es el anterior menos 3, nuevamente la cota superior es el primer elemento (7) y la inferior no tiene ya que el límite es - infinito

4) Progresión geométrica
Un=3*2^(n-1)

Veamos algunos...

U_1 = 3 * 2^0 = 3

U_2 = 3 * 2^1 = 6

U_3 = 3 * 2^2 = 12

Cada término es el doble del anterior, la cota inferior es U_1 (3) y no tiene cota superior ya que el límite es + Infinito

Nota: en los ejercicios 3 y 4, para ser "prolijos" habría que demostrar que la sucesión es decreciente (ej 3) y creciente (ej 4) del mismo modo que lo hice en el ejercicio 1

Salu2