Cual es la d e r i v a d a de la f u n c i o n f(x)= senx * tanx
Como hallar la derivada de
$$\begin{align}&f(x)= sen \ x \ \ tg \ x\\&yo \ lo \ intento \ \ resolver \ \ asi:\\&\\&f'(x)= \cos\ x \ \ * \ tan \ x \ + \ sen \ x \ * \ sec^2x\\&\\&??????? \ \ \\&\\&la \ \ respuesta \ \ es: \ \ sen \ x(1+sec^2x) \ \ por \ \ que?\end{align}$$
2 Respuestas
Escribamos la tan(x) = sen(x) / cos(x) y luego derivemos...(no me acuerdo la derivada de la tan de memoria, por eso hago esto)
$$\begin{align}&f(x) = senx \ tgx = senx \ \frac{senx}{cosx} = sen^2x \ \cos^{-1}x\\&\text{Y vamos a derivar la última expresión, utilizando la regla de la cadena}\\&f'(x)=2senx \ \cos^{-1}x \ cosx + sen^2x \ (-1)\cos^{-2}x\ (-senx)\\&\text{Simplifico y reacomodo...}\\&f'(x)=2senx + senx \ tg^2x\\&\text{Factor común}\\&f'(x)=senx(2+tg^2x)\\&\text{Y ese es el resultado, pero...}\\&\text{Si la expresión que te dieron es cierta, entonces debe suceder que}\\&1+sec^2x=2+tg^2x\\&\text{Veamos si llegamos a algo...}\\&1+sec^2x=1+\frac{1}{\cos^2}=\frac{\cos^2x+1}{\cos^2x}\\&\text{Sabemos que } \cos^2x+sen^2x=1 \text{, por lo tanto } \cos^2x=1-sen^2x, retomando...\\&\frac{\cos^2x+1}{\cos^2x}=\frac{1-sen^2x+1}{\cos^2x}=\frac{2-sen^2x}{\cos^2x}=........\text{Por acá no estoy llegando a nada, vamos por el otro lado}\\&\\&2+tg^2x=2+\frac{sen^2x}{\cos^2x}=\frac{2cos^2x+sen^2x}{\cos^2x}=\frac{2(1-sen^2x)+sen^2x}{\cos^2x}=\\&\frac{2-2sen^2x+sen^2x}{\cos^2x}=\frac{2-sen^2x}{\cos^2x}\\&\text{Fijate que llegué a la misma expresión que antes, por lo tanto siguiendo las igualdades, pero en sentido contrario, vamos a llegar a lo que queremos, o sea (usando las igualdades anteriores)}\\&\frac{2-sen^2x}{\cos^2x}=\frac{1-sen^2x+1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+1}{\cos^2x}=1+\frac{1}{\cos^2x}=1+sec^2x\\&\end{align}$$Salu2
;)
Una vez que derivas potencias, el siguiente paso es memorizar una tabla de derivadas de funciones elementales.
Para empezar:
D(senx)=cosx
D(cosx)=-senx
D(tanx)=1/(cos^2x)=sec^2x=1+tan^2x
La derivada de la tangente, utilizando identidades trigonométricas, se puede escribir de esas tres maneras.
En tu solución usas la segunda.
Aplicando la regla del producto:
f (x)=senx•tanx
f'(x)=cosx•tanx+senx•sec^2x=
Recuerda que tanx=senx/cosx
luego el primer sumando se simplifica
f'=senx+senx•sec2x=senx(1+sec^2x)
Ok, ya estoy entiendo más, pero por ejemplo, ¿sen x + sen x * sec^2x no seria 2sen x * sec^2x? Me pierdo.
Cuando tienes una suma y un producto tiene prioridad la multiplicación. Lo que tú haces sería si:
(senx+senx)•sec^2x=2senx•sec^2x
Que es diferente de
senx+senx•sec^2x=
Aquí se ha de multiplicar primero pero como no se puede lo que hace es sacar factor común:
a+ab=a (1+b)
;)