Dudas sobre este ejercicio de grupos finitos y grupos finitos simples en álgebra abstracta...
De antemano muchas gracias por todo su apoyo en esta demostración de álgebra abstracta!
Muestre que si |G|=20, entonces G no es simple.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Zankass!
20 = 2^2 · 5
Veamos cuántos 5-subbrupos de Sylow tiene.
Por el tercer teorema de Sylow:
i) El número de 5-subgrupos de Sylow divide a 20/5 = 4
Ii) el número de 5-subgrupos de Sylow es congruente con 1 módulo 5
Luego llamando n5 al numero de 5-subgupos de Sylow tendremos
n5 = 1, 2 o 4
n5 = 1,6,11, ...
Solo cabe la posibilidad n5=1
Cuando solo hay un p-subgrupo de Sylow es normal. Luego el 5-subrupo de Sylow que hay es normal y G no es simple.
Y eso es todo, saludos.
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