Se sabe que la función de demanda para cierto producto es $$\begin{align}&p=600-\sqrt q^2+80 \end{align}$$Se pide:De

$$\begin{align}&p=600−√(q2+80)\end{align}$$

esa es la función. 

y ahora, de esta función, tengo que:

$$\begin{align}&U = 70 - x - ( x2 - 63 x + 18 )\end{align}$$

Determina el número de estufas que se deben de producir cada semana, para maximizar la utilidad y calcular esta utilidad máxima.

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¡Hola Lizbeth!

El ingreso total es la cantidad de unidades vendidas por el precio de cada una. La función de la demanda nos da el precio, luego:

$$\begin{align}&IT(q)= qp = q\left(600 - \sqrt{q^2+80}\right)\\&\\&\text{Y el ingeso marginal es la derivada del ingreso}\\&\\&IM_{arg}(q) = IT(q)= 600-\sqrt{q^2+80}+q\left( \frac{-2q}{2 \sqrt{q^2+80}} \right)=\\&\\& 600-\sqrt{q^2+80}-\frac{q^2}{ \sqrt{q^2+80}}\\&\text{No  merece la pena simplificar más}\\&\\&IM{arg}(8)= 600 - \sqrt{64+80}-\frac{64}{\sqrt{64+80}}=\\&\\&600 - \sqrt{144}-\frac{64}{\sqrt{144}}= 600-12-\frac{64}{12}=\\&\\&588-\frac {16}3= 583-\frac 13= 582.67\\&\\&\\&\end{align}$$

Y en el otro

$$\begin{align}&U(x) = 70 - x - ( x^2 - 63 x + 18 )= -x^2+62x+52\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&U'(x)=-2x+62=0\\&\\&2x= 62\\&\\&x= 31\\&\\&\text{Es máximo porque}\\&\\&U''(x) = -2\\&\\&\text{Y la utilidad máxima es}\\&\\&U(31)= -31^2+62·31+52= \\&\\&- 961 + 1922 + 52 =  1013\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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