¿Cómo demostrar que estos subgrupos normales conmutan en álgebra abstracta?

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¡Hola Anonimo!

Es un ejercicio bastante sencillo, veamos que son grupos y grupos normales.

Los conjuntos H x {1}  y  {1} x K no son vacíos porque tienen el elemento (1,1)

Sean (a, 1) y (b, 1) de H x {1}

(b, 1)^-1 = (b^-1, 1)   ya que (b ,1) · (b^-1, 1) = (b·b^-1, 1) = (1, 1)

(a, 1)·(b^-1, 1) = (a·b^-1, 1)

como a y b son de H y H es un grupo entonces ab^-1 es de H, luego

(a·b^-1, 1) es de H x {1}

por tanto H x {-1} es subgrupo de H x K y por lo tanto es un grupo.

La demostración para {1} x K es totalmente análoga a esta.

Y ahora debemos ver que es un subgrupo normal. Un subgrupo N de G es normal si y solo si g^-1·n·g pertenece a N para todo g de G y n de N

Sea (a,b) de HxK y sea (h,1) de H x {1}

(a^-1,b^-1)·(n, 1)·(a, b) = (a^-1·n·a, b^-1·1·b) =  (a^-1·n·a, b^-1·b) = (a^-1·n·a, 1)

que pertenece a H x {1}

Luego H x {1}  es un subgrupo normal.

La demostración para {1} x K es totalmente análoga.

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La intersección es (1,1) obviamente, si uno de los dos elementos no es el 1 o no pertenecerá a H x {1} o no pertenecerá a {1} x K

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(h,1)(1, k) = (h·1, 1·k) = (h, k)

(1, k)(h, 1) = (1·h, k·1) = (h, k)

luego (h, 1)·(1, k) = (1, k)·(h,1)  para todos los elementos de H x {1} y 1 x {K}

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Y eso es todo, sa lu dos.

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