Geometría no euclidiana: Axiomas de Hilbert.
Resuelve el siguiente ejercicio, tomando en cuenta los axiomas de intermediación y de congruencia.
- Sean A, B, C y D cuatro puntos tales que A*B*C y A*C*D:
- (i). Demuestra que A, B, C y DE son cuatro puntos distintos.
- (Ii). Demuestra que A, B, C y D son colineales.
·,.,
·.,.,-,.-.
¡Hola Carolinaboni!
i)
A*B*C significa que B está entre A y C
El axioma de intermediación 1 dice que A, B, C son distintos, están en la misma línea y que también se cumple C*B*A
Y A*C*D significa que C está entre A y D
Por el axioma de intermediación 1 se cumple A, C, D son distintos, están en la misma línea y se cumple D*C*A
Esta segunda condición añade el punto D, pero ya sabemos que es distinto de A y C, solo quedaría ver que es distinto de B.
Supongamos B=D
Entonces se cumple
A*B*C de la primera condición
y sustituyendo D=B en la segunda (A*C*D) obtenemos
A*C*B
Pero esto es absurdo, porque el tercer axioma de intermediación dice que se cumple una y solo una de estas condiciones
A*B*C, A*C*B, B*C*A
Y se estaban cumpliendo dos.
Luego B es distinto de D y son todos los puntos distintos.
·
Ii)
Por el axioma de intermediación 1 tenemos que
A, B, C están en la misma línea
A, C, D están en la misma línea
Y el axioma de incidencia 1 dice que dados dos puntos distintos existe una única línea que pasa por ellos, luego como línea primera pasa por A y C y la segunda también pasa por ellos entonces las dos líneas son la misma, con lo cual el punto D ya pasa también por la línea donde están A, B, C y están los cuatro en la misma.
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Y eso es todo, saludos.
··
····
