Como resolver este ejercicio de espacios vectoriales(álgebra)
1-Si V=[ (1,0),(2,2),(3,0) ] ,calcula dim V
2- Si V=[ (1,0),(-1/2 , 0),(3,0) ] ,demostrar que dim V=1
1 respuesta
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¡Hola Luis Ramos!
1) El tercer vector no añade nuevo nuevo, es el primero multiplicado por 3.
Mientras que primero y segundo son independientes. Siempre que un vector tiene un 0 en un sitio que el otro no, son independientes (salvo que alguno sea el vector nulo)
Por lo tanto los dos primeros forman una base y la dimensión es 2.
2) La forma de resolverlo depende de como te lo hayan enseñado. Si te han enseñado que la dimensión es el rango de la matriz de los vectores puedes hacer
1 0
-1/2 0
3 0
Ahora sumas la primera por 1/2 a la segunda y la primera por (-3) a la tercera
1 0
0 0
0 0
Y el rango es 1 y por lo tanto la dimensión es 1.
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O puedes demostrarlo viendo que las combinaciones lineales son
a(1, 0) + b(-1/2, 0) + c(3, 0) = (a-b/2+3c, 0)
Te sobran b y c, uedes tomar b=0, c=0 y con eso es suficiente para que quede
(a, 0)
Para todo a de R
Que es un espacio vectorial de dimension 1.
Y eso es todo, saludos.
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