Demostrar que |a+b|=|a|+|b| si y sólo si el producto ab => 0.

De derecha a izquierda está fácil, pues los valores absolutos se desaparecen y la igualdad es clara, pero de izquierda a derecha es donde no sé cómo.

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¡Hola Mario Alejandro!

Consiste en comprobar los casos posibles a no ser que tengas algún teorema por ahí.

$$\begin{align}&1) Si\;  a=0\; ó\; b=0\\&|a+b| = |a|\; ó\; |b|\\&|a| + |b| = |a| \;ó \;|b|\text{  el mismo que arriba}\\&ab\ge 0\\&\text{Luego } |a+b| = |a|+|b|\; y\; ab\ge 0\\&\text{Por tanto se cumple}\\&\\&\\&2)\; Si \;a\neq0, \;b\neq0,\;  \;a=-b\\&|a+b|=|-b+b|=0\\&|a|+|b|=2|a|\neq 0\\&ab\lt 0\\&\text{Luego } |a+b| \neq |a|+|b|\; y\; ab\le0\\&\text{Por tanto se cumple}\\&\\&\\&3)\; Si \;a\lt 0,\;b\lt 0\\&|a+b|=-(a+b)=-a-b\\&|a|+|b|=-a-b\\&ab \gt 0\\&\text{Luego } |a+b| = |a|+|b|\; y\; ab\ge 0\\&\text{Por tanto se cumple}\\&\\&\\&4)\; \text{ Si }a\gt 0, b\lt 0\text{ o viceversa pero distinto valor absoluto} \\&|a+b| = a+b \quad ó \quad (-b-a)\\&|a|+|b|= a-b \quad ó \quad b-a\\&ab\lt 0\\&\text{Luego } |a+b| \neq |a|+|b|\; y\; ab\le0\\&\text{Por tanto se cumple}\\&\\&\\&5)  \;\text{Si }a\gt0,\;b\gt0\\&|a+b| =a+b\\&|a|+|b|=a+b\\&ab\gt 0\\&\text{Luego } |a+b| = |a|+|b|\; y\; ab\ge 0\\&\text{Por tanto se cumple}\\&\end{align}$$

Y como vemos se cumple en todos los casos, cuando se da la igualdad de los módulos el producto es no negativo.  Y cuando no se da la igualdad de módulos el producto es no positivo, luego la parte izquierda implica la derecha.

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Y si en la parte derecha tenemos ab>=0 se cumple una de estas:

a=0, b=0, a=b=0, a y b positivos, a y b negativos. 

En todos los casos se comprueba que se cumple la igualdad de la izquierda.

Y si en la parte derecha tenemos ab < 0 se cumple que uno es positivo y otro negativo y entonces no se cumple la igualdad de la izquierda.

Y eso es todo, saludos.

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Te muestro una forma de analizarlo "en ambos sentidos" (click para agrandar la imagen):

Espero te sea de utilidad.

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