Como resuelvo estos ejercicios de congruencia?
Me gustaría que me dieran una mano con estas ecuaciones de congruencia.
a) x 2 ≡ x (12)
b) x 2 ≡ 2 (3)
1 Respuesta
Si, así es. Perdón.
a) x^2 ≡ x (mod 12)
b) x^2 ≡ 2 (mod 3)
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¡Hola Patito!
Respecto a la primera la haré a mi forma, si no me mandas la teoría no sé si hay algún método más corto. Yo no estudié Teoría de Números.
Primero hagamos una comprobación fundamental:
Si n^2 ≡ n (mod 12) ==> (n+12m)^2 ≡ n+12m (mod 12)
Demostración:
(n+12m)^2 = n^2 + 24nm + 144m^2 ≡ n^2 (mod 12)
n+12m ≡ n (mod 12)
Luego (n+12)^m ≡ n (mod 12)
Y con esto bastaría probar con los números 0 a 11
0 ---> 0^2 ≡ 0 (mod 12) SI Cumple
1 ---> 1^2 ≡ 1 (mod 12) SI
2 ---> 4 /≡ 2 (mod 12) NO cumple
3 ---> 9 no≡ 3 (mod 12) NO
4 ---> 16 ≡ 4 (mod 12) SI
5 ---> 25 /≡ 5 (mod 12) NO
6 ---> 36 /≡6 (mod 12) NO
7 ---> 49 /≡ 7 (mod 12) NO
8 ---> 64 /≡8 (mod 12) NO
9 ---> 81 ≡ 9 (mod 12) SI
10--->100 /≡ 10 (mod 12) NO
11--->121 /≡ 11 (mod 12) NO
Luego la respuesta es
R = {12k, 1+12k, 4+12k, 9+12k| para todo k de Z}
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Y este segundo lo he mirado corriendo en unos apuntes de internet. Si me pasaras los apuntes o libro me vendría muy bien.
$$\begin{align}&b)\quad x^2\equiv 2 (mod \;3)\\&\\&\text{Tiene solución si el símbolo de Legendre }\left(\frac 23 \right)=1\\&\\&\text{Por el criterio de Euler, si p primo impar }\left (\frac np \right)\equiv n^{\frac{p-1}2}(mod\; p)\\&\\&\left(\frac 23 \right)\equiv 2^{\frac{3-1}{2}} (mod\;3)\\&\\&\left(\frac 23 \right)\equiv2^1(mod \;3)\\&\\&\left(\frac 23 \right)\equiv-1(mod\;3)\\&\\&\left(\frac 23 \right)=-1\\&\\&\\&\text{luego no tiene solución porque el símbolo de Legendre no es 1}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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Para el segundo he utilizado teoría bastante avanzada a lo mejor y también se podría haber resuelto con unas pocas comprobaciones.
$$\begin{align}&x^2\equiv 2\; (mod\;3)\\&\\&\text{veamos que x+3k también lo cumple}\\&\\&(x+3k)^2 = x^2+6kx+9k^3 = \\&x^2+3(2kx+3k^3)\equiv x^2(mod \;3)\\&\\&\text{Luego si}\\&\\&x^2\equiv 2\;(mod\, 3) \implies(x+3k)^2\equiv 2 \;(mod\; 3)\\&\\&\text{Y por tanto basta probar para x=0,1,2}\\&\\&0^2\equiv0\;(mod\;3)\\&1^2\equiv1\;(mod\;3)\\&2^2\equiv1\;(mod\;3)\end{align}$$Luego no lo cumplen esos tres números y no lo cumple ninguno.
