Cálculo de Supremo e Ínfimo de funciones.

Encontrar:

sup{x que pertenece a los Reales | x^2 + x + 1 > 0}

inf{ z = x + x^(-1) | x > 0}

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5.848.750 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Gabriela!

sup{x € R | x^2 + x + 1 > 0}

No existe ya que es un conjunto no acotado, dada cualquier cota superior K tendremos  M = K^2 + K +1 > K

Siendo M un elemento del conjunto, luego siempre existiría un elemento del conjunto mayor que cualquier cota.

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inf{ z = x + x^(-1) | x > 0}

El conjunto contiene números estrictamente positivos, luego está acotado inferiormente por 0 y tendrá un ínfimo.

Z es una función de x continua y derivable, luego aplicaremos la teoría de máximos y mínimos para encontrar el ínfimo.  Derivamos e igualamos a 0

$$\begin{align}&z' = 1-\frac{1}{x^2}= \frac{x^2-1}{x^2}=0\\&\\&x^2=1\\&x=\pm 1\\&\\&\text{Como nos decían }x\gt 0\text{ tomamos }x=1\\&\\&\text{Y es un mínimo relativo porque la derivada segunda es}\\&z''=-(-2)x^{-3}=2x^2\\&\\&z''(1) = 2·1^2=2 \gt0\implies\text{ mínimo relativo}\end{align}$$

Y en (0,1] la derivada es negativa lueog la función decrec siempre y es siempre mayor que z(1).  Y en [1, infinito) la derivada es siempre positiva, luego z es estrictamente creciente y por lo tanto mayor que z(1)

Luego z(1) = 1 + 1/1 = 2  es el mínimo de la función y el ínfimo del conjunto.

Y eso es todo, saludos.

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¿El ínfimo de z se podría calcular también por inducción matemática?

Me interesaría saber cómo.

Pues sí, por inducción o por dedudcción. Y además creo que es lo que te pedirán. Tienes que demostrar que

$$\begin{align}&n+\frac 1n < n+1 + \frac{1}{n+1}\\&\\&\frac 1n \lt 1 + \frac{1}{n+1}\\&\\&\frac{1}{n}\lt \frac{n+1+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}\\&\\&n+1 \lt n^2+2n\\&\\&1 \lt n^2+n\\&\\&\text {y esto se cumple siempre ya que para n=1}\\&\\&1+1 \lt 1\\&\\&\text{y si }n\lt1\\&\\&1\lt n\implies \\&\\&\text{podemos sumar algo positivoa la derecha}\\&\\&1 \lt n +n^2\end{align}$$

Y eos es todo, saludos.

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