Cálculo de Supremo e Ínfimo de funciones.
Encontrar:
sup{x que pertenece a los Reales | x^2 + x + 1 > 0}
inf{ z = x + x^(-1) | x > 0}
Justifique su respuesta.
1 respuesta
·
·
¡Hola Gabriela!
sup{x € R | x^2 + x + 1 > 0}
No existe ya que es un conjunto no acotado, dada cualquier cota superior K tendremos M = K^2 + K +1 > K
Siendo M un elemento del conjunto, luego siempre existiría un elemento del conjunto mayor que cualquier cota.
·
inf{ z = x + x^(-1) | x > 0}
El conjunto contiene números estrictamente positivos, luego está acotado inferiormente por 0 y tendrá un ínfimo.
Z es una función de x continua y derivable, luego aplicaremos la teoría de máximos y mínimos para encontrar el ínfimo. Derivamos e igualamos a 0
$$\begin{align}&z' = 1-\frac{1}{x^2}= \frac{x^2-1}{x^2}=0\\&\\&x^2=1\\&x=\pm 1\\&\\&\text{Como nos decían }x\gt 0\text{ tomamos }x=1\\&\\&\text{Y es un mínimo relativo porque la derivada segunda es}\\&z''=-(-2)x^{-3}=2x^2\\&\\&z''(1) = 2·1^2=2 \gt0\implies\text{ mínimo relativo}\end{align}$$Y en (0,1] la derivada es negativa lueog la función decrec siempre y es siempre mayor que z(1). Y en [1, infinito) la derivada es siempre positiva, luego z es estrictamente creciente y por lo tanto mayor que z(1)
Luego z(1) = 1 + 1/1 = 2 es el mínimo de la función y el ínfimo del conjunto.
Y eso es todo, saludos.
:
:
¿El ínfimo de z se podría calcular también por inducción matemática?
Me interesaría saber cómo.
Pues sí, por inducción o por dedudcción. Y además creo que es lo que te pedirán. Tienes que demostrar que
$$\begin{align}&n+\frac 1n < n+1 + \frac{1}{n+1}\\&\\&\frac 1n \lt 1 + \frac{1}{n+1}\\&\\&\frac{1}{n}\lt \frac{n+1+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}\\&\\&n+1 \lt n^2+2n\\&\\&1 \lt n^2+n\\&\\&\text {y esto se cumple siempre ya que para n=1}\\&\\&1+1 \lt 1\\&\\&\text{y si }n\lt1\\&\\&1\lt n\implies \\&\\&\text{podemos sumar algo positivoa la derecha}\\&\\&1 \lt n +n^2\end{align}$$Y eos es todo, saludos.
:
:
