Propiedad del ínfimo de la unión de dos conjuntos.

Sean A, B no vacíos.

Demostrar:

inf(A ∪ B) = min{inf(A), inf(B)}

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¡Hola Gabriela!

Primero demostramos que min{inf(A), inf(B)} es una cota inferior de

A ∪ B

Sea x € A ∪ B

Si x € A tenemos min{inf(A), inf(B)} <= inf(A) <= x

Si x € B tenemos min{inf(A), inf(B)} <= inf(B) <= x

Luego demostramos que es la mayor cota inferior

Supongamos existe k > min{inf(A), inf(B)} que es cota inferior de A ∪ B

Si min(inf(A),inf(B)} = inf(A) tendremos k> inf(A)

Y como k es cota inferior de A ∪ B es cota inferior de A

Entonces k es mayor que inf(A) y es cota inferior de A, eso es absurdo ya que entonces inf(A) no sería el ínfimo de A

Y si min(inf(A),inf(B)} = inf(B) tendremos k> inf(B)

Entonces k es mayor que inf(B) y es cota inferior de B, eso es absurdo ya que entonces inf(B) no sería el ínfimo de B

Luego es un absurdo que exista k > min{inf(A), inf(B)} que sea cota inferior de A ∪ B, luego min{inf(A), inf(B)} es la mayor cota inferior de A ∪ B y por lo tanto es el ínfimo de A ∪ B.

Y eso es todo, saludos.

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