¿Cómo encontrar la matriz respecto a un conjunto de vectores?
Sea L: P_3 ---> P_3, definida como L(p(t)) = p''(t) + p(0). Sean los conjuntos
S = {1, t, t^2 , t^3} y T = {t^3, t^2 - 1, t , 1}.
a) Calcule la matriz de L, con respecto a S.
b) Calcule la matriz de L, con respecto a T.
1 Respuesta
·
·
¡Hola Mario Alejandro!
Hay que hallar las imágenes de los vectores de la base y ponerlos como columnas.
1) Respecto de S = {1, t, t^2 , t^3}
L(1) = 1''+ 1 = 0+1=1
L(t) = t'' + 0 = 0+0 = 0
L(t^2) = (t^2)'+ 0 = 2 + 0 = 2
L(t^3) = (t^3)''+ 0 = 6t + 0 = 6t
La matriz se hace poniéndolo por colmunas teniendo en cuenta que he elegido el orden a +bt + ct^2 + dt^3 con lo que la columna para esa imagen tendría el orden a, b, c, d.
1 0 2 0
0 0 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0
·
2)
Respecto a:
T = {t^3, t^2 - 1, t , 1}
L(t^3) = (t^3)'' + 0 = 6t + 0 = 6t
L(t^2-1) = (t^2-1)'' + (-1) = 2t -1
L(t) = t'' + 0 = 0+0 = 0
L(1) = 1'' + 1 = 0+1 = 1
Y la matriz es
0 -1 0 1
6 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Y eso es todo, sa lu dos.
:
:
Tengo una duda. He entendido el proceso pero hay una falla
L(t^2 - 1) = (t^2 - 1)'' + (-1) = 2t - 1
La segunda derivada de la función es 2, de manera que la respuesta es 2 - 1 = 1, cuya representación en forma de vector la podemos escribir como (1, 0, 0, 0), de manera que se repite el vector en la matriz asociada a la aplicación, ¿es normal?
Gracias por la colaboración.
Bueno, pensándolo bien, si es normal.
Si, es verdad que me confundí ahi:
L(t^2-1) = (t^2-1)'' -1 = 2-1 = 1
Y la matriz es
0 1 0 1
6 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Tambíen me dejé una prima en
L(t^2) = (t^2)'+ 0 = 2 + 0 = 2
Aunque el resultado estaba bien.
Es un resultado normal, una matriz expresa por columnas la imagen de una base, tu puedes poner lo que quieras en la matriz y siempre corresponderá a una transformación lineal. Se pueden mandar vectores distintos al mismo vector, lo único que pasará es que la transformación no será inyectiva.
Sa lu dos.
:
:
