¿Cómo encontrar la matriz respecto a un conjunto de vectores?

Sea L: P_3 ---> P_3, definida como L(p(t)) = p''(t) + p(0). Sean los conjuntos

S = {1, t, t^2 , t^3} y T = {t^3, t^2 - 1, t , 1}.

a) Calcule la matriz de L, con respecto a S.

b) Calcule la matriz de L, con respecto a T.

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5.848.375 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Mario Alejandro!

Hay que hallar las imágenes de los vectores de la base y ponerlos como columnas.

1)  Respecto de S = {1, t, t^2 , t^3}

L(1) = 1''+ 1 = 0+1=1

L(t) = t'' + 0 = 0+0 = 0

L(t^2) = (t^2)'+ 0 = 2 + 0 = 2

L(t^3) = (t^3)''+ 0 = 6t + 0 = 6t

La matriz se hace poniéndolo por colmunas teniendo en cuenta que he elegido el orden a +bt + ct^2 + dt^3 con lo que la columna para esa imagen tendría el orden a, b, c, d.

1   0  2  0 

0   0  0  6

0   0  0  0

0   0  0  0

·

2)

Respecto a:

T = {t^3, t^2 - 1, t , 1}

L(t^3) = (t^3)'' + 0 = 6t + 0 = 6t

L(t^2-1) = (t^2-1)'' + (-1) = 2t -1

L(t) = t'' + 0 = 0+0 = 0

L(1) = 1'' + 1 = 0+1 = 1

Y la matriz es

0  -1   0   1

6   2   0   0

0   0   0   0

0   0   0   0

Y eso es todo, sa lu dos.

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Tengo una duda. He entendido el proceso pero hay una falla 

L(t^2 - 1) = (t^2 - 1)'' + (-1) = 2t - 1

La segunda derivada de la función es 2, de manera que la respuesta es 2 - 1 = 1, cuya representación en forma de vector la podemos escribir como (1, 0, 0, 0), de manera que se repite el vector en la matriz asociada a la aplicación, ¿es normal?

Gracias por la colaboración.

Bueno, pensándolo bien, si es normal. 

Si, es verdad que me confundí ahi:

L(t^2-1) = (t^2-1)'' -1 = 2-1 = 1

Y la matriz es

0   1   0   1

6   0   0   0

0   0   0   0

0   0   0   0

Tambíen me dejé una prima en

L(t^2) = (t^2)'+ 0 = 2 + 0 = 2

Aunque el resultado estaba bien.

Es un resultado normal, una matriz expresa por columnas la imagen de una base, tu puedes poner lo que quieras en la matriz y siempre corresponderá a una transformación lineal. Se pueden mandar vectores distintos al mismo vector, lo único que pasará es que la transformación no será inyectiva.

Sa lu dos.

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