Optimización (Hessiano) Puntos Críticos y Extremos

Una empresa estima que la inversión en publicidad genera unos beneficios dados por x**3 y**5 z**6" (equis cúbica, lle a la quinta, zeta a la sexta), donde "x" es el dinero invertido en publicidad escrita, "y" en publicidad radiofónica y "z" en publicidad televisiva. Encontrar la relación entre "x, y & z" que maximiza los beneficios netos (i.e. La diferencia entre beneficios obtenidos y gastos realizados).

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¡Hola Alvarez!

No le veo sentido a la pregunta. Esta función no está acotada, si tu tomas los beneficios

B(x,y,z) = x^3·y^5·z^6 - (x+y+z)

Es una función que tiende a infinito la mires por donde la mires, luego no hay cotas, cuanto más inviertas más beneficios se obtienen.

Por lo tanto no vas obtener nada derivando parcialmente y tomando el Hessiano de los puntos criticos

Bx = 3x^2·y^5·z^6 - 1 = 0

By = 5x^3·y^4·z^6 - 1 = 0

Bz = 6x^3·y^5·z^5 - 1 = 0

A través del 1 podemos hacer estas igualaciones

3x^2·y^5·z^6 = 5x^3·y^4·z^6  ==> 3y=5x  ==> y=5x/3

3x^2·y^5·z^6 = 6x^3·y^5·z^5  ==> 3z = 6x ==> z=2x

5x^3·y^4·z^6 = 6x^3·y^5·z^5  ==> 5z = 6y

Veamos si se cumple la última

10x = 6(5x/3) = 10x

La cumple, luego no aporta nada y el punto debe ser de la forma

(x, 5x/3, 2x)

Hagamos que

$$\begin{align}&3x^2·y^5·z^6 - 1 = 0\\&\\&3x^2·\frac{5^5x^5}{3^5}·2^6x^6 -1=0\\&\\&\frac{5^5·2^6}{3^4}·x^{13}=1\\&\\&x=\left(\frac{3^4}{5^5·2^6}\right)^\frac 1{13}\end{align}$$

Y eso es un insignificante 0.5483211549

Que nos va a dar un punto

(0.5483211549, 0.9138685914, 1.09664231)

Cuyo beneficio es

-2.376058337721483

Se trata de un mínimo relativo o un punto de silla, nunca es el máximo, ya que simplemente tomando

x=y=z = 2 tenemos

2^3·2^5·2^6 - 6 = 16378

De todas formas me parece una barbaridad esa función, ¿seguro qué está bien?

¿No serán sumas en vez de productos? Pero aun así tampoco estaría acotada. Puede que lo que quieras sea el máximo condicionado a una cantidad fija de gasto, entonces si que habría cotas pero la resolución ya no es con hessianos sino con los multilicadores de Lagrange.

Hola Valero, muchas gracias por responder. Lo que pasa es que estoy viendo este tema en la materia y tengo que resolver el prbolema para despues exponerlo, el problema lo obtuve de este libro 

http://matematicas.uclm.es/earanda/wp-content/uploads/downloads/2013/10/libroc.pdf 

La página 78, problema 473.

La notación la hice como viene en el problema, tal vez por el teclado se mal interpreta un poco al poner mal los enunciados, espero puedas ayudarme.

Inclusive, si me pudieras compartir algún problema de este tema en el que se aplique en algún problema o situación, para tener más clara la idea estaría muy agradecido.

Perdona, no lo había leído bien. Yo pensaba que eran los valores de x, y, z que maximizaban la función, y veo que es la relación entre los ellos que es algo distinto. Pues esa relación es seguramente la que calculé, veamos si el hessiano está definido negativo en un punto de esa forma

(x, 5x/3, 2x)

y entonces será un mínimo relativo.

Bx = 3x^2·y^5·z^6 - 1

By = 5x^3·y^4·z^6 - 1

Bz = 6x^3·y^5·z^5 - 1

Bxx = 6x·y^5·z^6

Bxy = 15x^2·y^4z^6

Bxz = 18x^2y^5z^5

Byx = Bxy

Byy = 20x^3·y^3·z^6

Byz = 30x^3·y^4z^5

Bzx= Bxz

Bzy = Byz

Bzz = 30x^3y^5z^4

Luego el Hessiano es

6x·y^5·z^6 15x^2·y^4·z^6 18x^2y^5·z^5

15x^2·y^4·z^6 20x^3·y^3·z^6 30x^3·y^4·z^5

18x^2·y^5·z^5 30x^3·y^4·z^5 30x^3y^5·z^4

Si te fijas en todos los elementos la suma de los exponentes es 12, luego al sustituir y y z por sus valores de x va a quedar x^12 multiplicada por un coeficiente que es el que interesa.

Esta era la sustitución

y=5x/3,   z=2x

6·(5/3)^5·2^6·x^12      15·(5/3)^4·2^6·x^12    18·(5/3)^5·2^5·x^12

15·(5/3)^4·2^6·x^12    20·(5/3)^3·2^6·x^12    30·(5/3)^4·2^5·x^12

18·(5/3)^5·2^5·x^12    30·(5/3)^4·2^5·x^12    30·(5/3)^5·2^4·x^12

Dado que x, y, z van a ser positivos para calcular el signo de los menores del Hessiano podemos quitar todo lo que de factor común haya en todos los elementos, los menores del hessiano serán cantidades más pequeñas pero con el mismo signo.

Podemos sacar (5/3)^3·2^4·x^12

6·(5/3)^2·2^2      15·(5/3)·2^2    18·(5/3)^2·2

15·(5/3)·2^2        20·2^2             30·(5/3)·2

18·(5/3)^2·2        30·(5/3)·2        30·(5/3)^2

Y da pereza pero lo mejor será calcularlos

200/3    100   100

100         80   100

100      100   250/3

El primer menor es 200/3 positivo

El segundo menor es (200/3)·80 - 100·100 =-14000/3  negativo

En el tercero dividire por 10 todo antes de calcularlo

20/3·8·25/3 + 1000+1000 - 800 - 100·25/3 - 100·20/3 =

4000/9 + 1200 - 2500/3 - 2000/3 = 1300/9 positivo

Cuando los menores salen con el primero positivo y los demas alternados está definido negativo y si el punto es crítico es un máximo.

Luego los puntos donde la relación es

y = 5/3x

z = 2x

Son maximos relativos entre aquellos cuya suma x+y+z es la misma.

Y eso es todo.

Saludos.

.

:

Espera, que he aplicado mal el criterio, era negativo en los menores impares y positivo en los pares para ser un máximo, luego no está bien, deja que lo calcule de otra forma

Cuando sucede que no todos los menores son positivos y no tienen signos alternados empezando por negativo

-, +, -, +

Y ninguno es 0, entonces es un punto de silla, se pueden encontrar puntos tan cercanos como queremos con un valor mayor y otros con un valor menor.

Eso lo confirma que los valores propios son

Unos positivos y otros negativos.

Vamos a hacer un ejemplo que pueda verse. Para ello deberá ser solo de dos variables pero viene a ser primo hermano

B(x,y) = x^3·y^5 - x - y

En este caso la relación es

y=5x/3

y el punto crítico

((3^4/5^5)^(1/7),  (5/4)·(3^4/5^5)^(1/7)) =

(0.59343947, 0.9890657835)

Tienes la gráfica con la función que un paraboloide hiperbólico distorsionado por el -x-y que tiene la función, el plano y=5x/3  es el eje longitudinal de esa especie de paraboloide y el punto crítico está puesto en verde, es un punto de silla.

Luego yo creo que este problema no es para resolver por Hessiano, el punto crítico que sale no es ni máximo ni mínimo, la función no tiene ningún extremo relativo.

Sa_lu_dos.

Muchas gracias Valero. Me dices que no hay ni puntos máximos globales ni locales, tampoco mínimos, el resultado fue un punto silla, entonces hablando financiera o económicamente, ¿ese punto silla en mi problema representaría que voy a obtener de mi inversión en publicidad lo mismo que invetí? O entendí mal y si habrá ganancias, es decir, ¿recupero mi inversión y obtengo más dinero?
Disculpa la tardanza en contestar, pero estoy en final de semestre y casi no me coneto a internet.
Y otra cosa más, con que programa me recomiendas graficar mi función y como denotar el punto crítico (punto silla) así como lo hiciste en tu programa, espero no sea molestia. Saludos

Como te decía, yo lo he resuelto de la forma que me pedías, por el Hessiano para obtener unos valores (x, y, z) que sean mejor que los demás. Y el resultado demuestra que no hay un punto mejor que todos los demás, porque en todo punto hay direcciones en los que la función crece.

Otra cosa es tuvieramos un presupuesto máximo a gastar, entonces se forman unas curvas de nivel y dentro de una curva de esas si que hay un máximo. Por eso te decía que yo creía que este problema debía solucionarse mediante los multiplicadores de Lagrange que calculan el máximo de una función ligada a una o varias condiciones, en este caso pondríamos una condición x+y+z=k

Habrá ganancias siempre que esa función valga más que cero.

En la función reducida a dos variables que he puesto de ejemplo sería donde la función esta por encima del palna horizontal aunque debes tener en cuenta que solo sirve el cuadrante de la izquierda donde x, y son mayores de 0.

Yo represente esto con Geogebra, aunque se que debe otros programas mejores, pero nunca encuentro ninguno que haga lo que me gusta en 3D.

Saludos.

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¡Gracias! Espero no haberte incomodado con tantas preguntas, te agradezco mucho que hayas respondido atodas mis dudas, espero no sea una molestia, pero me gustaría tener tu correo, claro, si tu estás disupuesto. Saludos, Valero.

No quiero dar mi correo porque no quiero comprometerme a nada, yo contesto las preguntas que puedo y cuando puedo, no puedo hacer más de lo que hago. Lo que si te pedíria es que subieses la nota a Excelente, el trabajo ha sido mucho y no volveré a hacer algo semejante sin la seguridad de tener la puntuación adecuada. Puedes cambiar la nota aquí abajo.

Sa lu dos.

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