Álgebra abstracta... Dudas sobre el tema Homomorfismos!

Si g es un homomorfismo entre G y H y h es un homomorfismo entre H y K ¿entonces g(f) es un homomorfismo entre G y K?

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¡Hola Zankass!

Confundiste la letras, querías decir g(h). Aunque yo con esta notación inversa estoy perdido y escribiré gh.

Sí, la composición de homomorfismos es un homomorfismo.

Como sucede en toda composición de funciones:

Dado a de G tiene una y solo una imagen por g en H, y esa imagen en H tiene una y solo una imagen por h en K, luego el elemento a de G tiene una y solo una imagen en K por la función gh.

Y ahora hace falta ver que la función gh es un homomorfismo, para ello debe cumplir:

(a·b)gh = agh · bgh

para todo a y b de G

Como g es homomorfismo

(a·b)g = ag · bg

y como h es morfismo

(a·b)gh = (ag · bg)h = agh · bgh

Luego se cumple la propiedad.

Y eso es todo. Saludos.

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