Determine el valor de α tal que los vectores sean a)ortogonales, b)paralelos, c) el ángulo entre ellos sea pi sobre 4

Como encuentro el valor de α tal que los vectores sean

A=2i+3j  y  B=4i+αj

a)Ortogonales, b)paralelos, c) el ángulo entre ellos sea pi sobre 4

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¡Hola Andres!

a)

Serán ortogonales cuando el producto escalar sea 0

A·B = (2i+3j) · (4i+αj) = 8+3α = 0

3α=8

α= 8/3

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b)

Serán paralelos cuando sean propocionales

$$\begin{align}&\frac 24=\frac 3\alpha\\&\\&\alpha=\frac{4·3}{2}= 6\\&\\&\\&c)\text{ El ángulo será }\frac{\pi}4 \text{ cuando el }\\&\text{coseno del ángulo sea } \frac {\sqrt{2}} 2\\&\\&\cos\alpha = \frac{u·v}{|u||v|}=\frac{8+3\alpha}{\sqrt{2^2+3^2}·\sqrt{4^2+\alpha^2}}= \frac{\sqrt 2}{2}\\&\\&16+6\alpha= \sqrt{13·(16+\alpha^2)·2}\\&\\&16+6\alpha= \sqrt{416+26\alpha^2}\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&256 +36 \alpha^2+192\alpha=416 + 26 \alpha^2\\&\\&10\alpha^2+192\alpha-160=0\\&\\&\alpha =\frac{-192\pm \sqrt{192^2+4·10·160}}{20}=\\&\\&\frac{-192\pm \sqrt{43264}}{20}=\frac{-192+208}{20}=\\&\\&\alpha_1=-20\\&\alpha_2=\frac 45=0.8\\&\\&\text{Pero hay que ver cumplen la ecuación anterior}\\&\text{a alevar al cuadrado}\\&16+6\alpha= \sqrt{416+26\alpha^2}\\&\\&\text{Y vemos que }-20\text{ no la cumple}\\&\\&\text{Luego la solución es}\\&\\&\alpha= \frac 45=0.8\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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