Intersección con parámetros recta, cónica. Analítica.

Determinar todos los valores de k para los cuales las gráficas de las ecuaciones se intersectan:

x² + y² = k

x + y = k

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¡Hola Llaq!

Lo primero que se deduce de la primera ecuación es que k no puede ser negativo, luego k >= 0

Ahora suponiendo k>=0 despejamos x en la segunda ecuación

x=k-y

Y llevamos ese valor a la primera

$$\begin{align}&(k-y)^2+y^2=k\\&\\&k^2-2ky+y^2 +y^2=k\\&\\&2y^2-2ky +k^2-k=0\\&\\&\text{Para que esto tenga solución el discriminante}\\&\text{debe ser no negativo }\;b^2-4ac \ge0\\&\\&4k^2-8(k^2-k)\ge 0\\&-4k^2+8k\ge0\\&2k-k^2\ge0\\&k(2-k)\ge0\\&\\&\text{Ya hemos dicho antes que k era no negativo, luego}\\&2-k\ge 0\\&k\le2\\&\\&\text{luego debe ser}\\&\\&0\le k\le2\\&\\&\text{o puesto de otra forma}\\&\\&k\in[0,2]\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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