6. Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por el punto (1, 2), aquélla que forma con los semiejes positivos un triángulo

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¡Hola Juana!

Menos mal que dicen con los semiejes positivos, porque si no se armaba una gorda con funciones de valores absolutos.

La ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 2) es

y-2 = m(x-1)

El corte con el eje x será

-2= mx - m

x=(m-2)/m

y el corte con el eje y será

y-2 = -m

y = -m+2

Como y debe ser positivo

-m+2 >= 0

m<=2

Y como x también debe ser positivo

x = (m-2)/m

El numerador es negativo, luego el denominador también debe serlo

m<0

Luego en resumen debe ser m < 0

Y el área que formarán será el producto de los cortes en los ejes dividido entre 2

A(m) = (-m+2) · (m-2)/m = -(m-2)^2/m

La derivamos e igualamos a 0

$$\begin{align}&A'(m)= -\frac{2(m-2)m-(m-2)^2}{m^2}=0\\&\\&-\frac{(m-2)(2m-m+2)}{m^2} = 0\\&\\&-\frac{(m-2)(m+2)}{m^2} = 0\\&\\&\text{Como m<0 no puede ser nulo m-2}\\&\\&m+2= 0\\&m=-2\\&\\&\text{Luego la recta es}\\&\\&y-2=-2(x-1)\\&\\&y = -2x+4\end{align}$$

Y he dicho que eso es un mínimo sin calcular la derivada segunda y no la voy a calcular.

Ese el único punto critico en (-inf, 0), dentro de ese intervalo la función es continua y derivable, luego si es un máximo relativo será un máximo absoluto y si es un mínimo relativo será un mínimo absoluto. Pero un máximo absoluto no es porque si tomas el límite de la función área cuando m tiende a 0 por la izquierda este es infinito, luego hay puntos donde el aréa es mayor que para m=-2 por lo tanto no es un máximo absoluto y por lo tanto no es un máximo relativo, luego es un mínimo relativo y por lo tanto un mínimo absoluto.

Y eso es todo, saludos.

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