Cálculo de la siguiente ecuación
Alguien podría darme una idea de cómo calcular la siguiente ecuación en función de los valores de r.
$$\begin{align}&rx-\sinh(x)=0\end{align}$$
·
·
¡Hola Jorge!
No todas las ecuaciones se pueden resolver por métodos algebraícos. Y esta es una de ellas. Si necesitas saber la solución concreta para un valor especifico de r puedes usar WolframAlpha.
Pero alguna cosa siempre se puede saber.
1) La respuesta x=0 sirve para cualquier r
Veamos como es la derivada
y' = r - cosh(x)
El coseno hiperbólico es siempre mayor que 1, luego
2) Si r <=1 ==> y' <=0 ==> y siempre decreciente ==> (0,0) única respuesta.
Si r >1 la derivada tiene dos puntos simétricos respecto (0,0) donde se anula. Luego la función decrece hasta ese primer punto, crece hasta el segundo y decrece después. Cuando pasa por 0 está creciendo, luego antes ha tenido que bajar por debajo de cero y despues del 0 crecera y luego decrecerá, luego parasá otra vez por 0.
3) Si r >1 la ecuación tiene tres respuestas, (0,0), (-a,0) (0,a). Son respuestas simétricas porque la función es impar.
Y ese valor de a es el que te digo que no se puede calcular salvo por métodos numéricos como por ejemplo el de Newton-Rapson o con programas de amtemáticas.
Y eso es todo, saludos.
:
:
1 respuesta más de otro experto
;)
Hola jorge!
Poniendo la definición del senhx:
$$\begin{align}&rx=sinhx\\&\\&rx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\&\\&2rx=e^x-\frac{1}{e^x}\\&\\&2rxe^x=e^{2x}-1\\&\\&e^{2x}-2rxe^x-1=0\end{align}$$y esa combinación de exponencial y polinomio no se puede despejar en función de r.
Otra manera:
$$\begin{align}&rx=senhx \Rightarrow x=argsenh(rx)=ln [rx+ \sqrt{(rx)^2+1} ]\end{align}$$imposible