Demostración derivada de arcoseno de un angulo
Demostrar como obtener la derivada de un arcoseno de un angulo appoyandose exclusivamente en el conocimiento de la derivada del seno.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Juana!
Lo que dice el teorema sobre la derivada de la función inversa es que
Dada y=f(x) si existe una función inversa x=g(y) tal que un punto y tenga derivada g'(y) distinta de 0, entonces la función y=f(x) tiene en el punto correspondiente x una derivada que es
f'(x) = 1/g'(y)
Luego en este caso f sera el arcoseno y g será el seno
$$\begin{align}&y=arcsen\; x\\&x=sen\,y\\&\\&(arcsen\, x)'= \frac{1}{(seny)'} = \frac{1}{cosy}\\&\\&\text{Ahora veamos lo que es }cosy\\&\cos y= \sqrt{1-sen^2y}= \sqrt{1-x^2}\\&\\&\text{Luego}\\&\\&(arcsen \,x)'=\frac 1{\sqrt{1-x^2}}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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