Doblado de papel. Se coloca una hoja de papel de 8.5 por 11 pulgadas sobre una superficie plana. Una de las esquinas
Este es el problema, y veo que es muy parecido a varios que ya ha respondido compañero, se trata de derivadas aplicadas a máximos y mínimos. Muchas gracias por su atención
1 Respuesta
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¡Hola Sebastián!
El ángulo alfa = RPA será el mismo que RPQ por simetría. Luego el ángulo BPQ será 180º - 2·alfa
y
PB = x·cos(180º-2·alfa)= -x·cos (2alfa) = x[sen^2(alfa) - cos^2(alfa)]
$$\begin{align}&sen\,\alpha= \frac{\sqrt{L^2-x^2}}{L}\\&\\&\cos \alpha = \frac{x}{L}\\&\\&\overline {PB}=x·\left(\frac{L^2-x^2}{L^2}-\frac{x^2}{L^2}\right)=x-\frac{2x^3}{L^2}\\&\\&\overline{AP}+\overline{PB}=8.5\\&\\&x+x-\frac{2x^3}{L^2}=8.5\\&\\&2xL^2-2x^3 = 8.5L^2\\&\\&2xL^2-8.5L^2=2x^3\\&\\&L^2=\frac{2x^3}{2x-8.5}\\&\\&\\&b) \\&\text{Como x es positiva}\\&0\le x \le 8.5\\&\text{y también como}\\&0\le L^2(x)=\frac{2x^3}{2x-8.5}\implies 2x-8.5\ge0\implies x\ge 4.25\\&\text{Por otra parte}\\&\sqrt{L^2-x^2}\le11\implies L^2 \le 121+x^2\implies\\&\frac{2x^3}{2x-8.5}\le 121+x^2\implies\\&\\&2x^3\le 242x+2x^3-1028.5-8.5x^2\\&8.5x^2-242x+1028.5\le0\\&\\&x=\frac{242\pm \sqrt{242^2-4·8.5·1028.5}}{17}=\frac{242\pm \sqrt{23595}}{17}\\&x\in[5.199609383,\; 23.27097885]\\&\\&\text{Y con las condiciones de más arriba}\\&x\in[5.199609383,\; 8.5]\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\frac{d L^2}{dx}=\frac{6x^2(2x-8.5)-2x^3·2}{(2x-8.5)^2}=\frac{8x^3-51x^2}{(2x-8.5)^2}=0\\&x=\frac {51}8= 6.375\\&\text{Calculamos la función }L^2 \text{en ese punto y los}\\&\text{extremos, alguno de los tres será el máximo}\\&L^2(6.375)=121.921875\\&L^2(5.199609383)=148.0359378\\&L^2(8.5)=144.5\\&\\&\text{Luego el maximo es }\\&\\&x=\frac{242\pm \sqrt{23595}}{17}\approx 5.199609383\\&\\&\\&c)\\&\text{El mínimo de }L^2 \text{ es en } x=6.375\\&\text{Como L es positiva el minimo de L se da}\\&\text{en el mismo punto que } L^2\\&\\&\text{luego en }x=6.375\end{align}$$No puse muchos comentarios dentro del cuadro de fórmulas porque se atasca el ordenador. Pero merece la pena mencionar que una función continua y derivable en un intervalo cerrado al canza sus máximos y mínimos en los puntos críticos o en los extremos.
Y eso es todo, saludos.
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Ah, espera, que en C pedían el valor mínimo de L y puse el valor de x que la minimiza, entonces.
$$\begin{align}&L=\sqrt{\frac{2x^3}{2x-8.5}}= \sqrt{\frac{2·\frac{51^3}{8^3}}{2·\frac {51}{8}-\frac {17}2}}=\\&\\&\frac {51}8 \sqrt{\frac{\frac{51}{4}}{\frac {17}4}}=\frac{51}{8}\sqrt 3\approx 11.0418239\;pulgadas\end{align}$$Ahora ya está bien. Como habrás visto sobran muchas cuentas para los físico-ingenieros, pero los matemáticos solo ponemos o deberíamos poner un número decimal no exacto en la última cuenta, para dar el valor aproximado.
