Determine el volumen del solido acotado por el frente y por la parte posterior por los planos x=2 y x=1, a los lados por los cil

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¡Hola Jesús!

Pues nos dan todos los extremos de integración, luego los aplicaremos.

Si acaso vamos a comprobar que no hay cortes.

x=1  y  x=2  son rectas paralelas, no se cortan

y=-1/x  y y=1/x  no se cortan cuando x vale entre 1 y 2 uno es negativo y el otro positivo

z=0  y z=x+1   no se cortan cuando  x vale entre 1 y 2, els segundo plano es siempre positivo para esos valores.

Luego no hay problemas la integral se hace toda de golpe y coincide con el volumen

$$\begin{align}&V=\int_1^2\int_{-\frac 1x}^{\frac 1x}\int_0^{x+1}dz\,dy\,dx=\\&\\&\int_1^2\int_{-\frac 1x}^{\frac 1x}(x+1-0)dy\,dx =\\&\\&\int_1^2(x-1)\int _{-\frac 1x}^{\frac 1x}dy\,dx=\\&\\&\int_1^2(x-1)·y\bigg|_{-\frac 1x}^{\frac 1x}dx=\\&\\&\int_1^2(x-1)\left(\frac{1}{x}+\frac 1x\right)dx=\\&\\&\int_1^2(x+1)·\frac 2xdx=\\&\\&2 \int_1^2\left(1+\frac 1x\right)dx=\\&\\&2\bigg[x+ln |x|  \bigg]_1^2=\\&\\&2\left(2+ln\,2-1-ln\,1  \right)= 2+2\,ln\,2=2 + ln\,4\end{align}$$

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