Calcular punto de equilibrio, excedente de productor y consumidor

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¡Hola Angel!

El punto de equilibrio es la intersección de la curva de la oferta y la demanda
1200 - 1.5x^2 = 200 + x^2
2.5x^2 - 1000= 0
2.5x^2 = 1000
x^2 = 400
x=20
La respuesta x=-20 no sirva, la producción debe ser positiva.
Y el valor del precio es
p = 200 + 20^2 = 200 + 400 = 600
Luego el punto de equilibrio es x=20, p=600

Verificamos que cumple las dos ecuaciones
600 = 1200 - 1.5·20^2
600 = 1200 - 1·5·400
600 = 1200 - 600
600 = 600

600 = 200 + 20^2
600 = 200 + 400
600 = 600

Las fórmulas del excedente del productor y el consumidor son

$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\ &\\ &ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\ &\\ &\\ &\text {que son equivalentes a estas: }\\ &\\ &ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\ &\\ &ec = -p_0q_0 +\int_0^{q_0}d(q)dq\end{align}$$

Las he puesto con la variable q por costumbre y porque es más explicativa que la x.
F es la función de la oferta y d la de la demanda. Vamos a identificarlas. La función de la demanda es decreciente luego es
d(q) = 1200 - 1.5q^2
y la de la oferta es creciente y es
f(q) = 200 + q^2

$$\begin{align}&ep = 600·20 -\int_0^{20}(200+q^2)dq=\\& \\& 12000-\left[200q+\frac{q^3}{3}  \right]_0^{20}=\\& \\& 12000-4000-\frac{8000}{3}=5333.3333...\\& \\& \\& ----------------\\& \\& ec = -600·20 +\int_0^{20}(1200-1.5q^2)dq =\\& \\& -12000+\left[1200q-1.5 \frac{q^3}{3}  \right]_0^{20}=\\& \\& \\& -12000 + 24000 - 1.5·\frac{8000}{3}=\\& \\& 12000-4000 = 8000\end{align}$$

Y eso es todo.

Sa lu dos

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