Calcular el número de formas de sentar kn personas en k mesas circulares distintas
Sean k, n números enteros positivos. Demuestre que el números de formas de sentar kn personas alrededor de k mesas distintas de modo que hay n personas en cada mesa es
$$\begin{align}&\frac{(kn)!}{n^k}\end{align}$$
1 Respuesta
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¡Hola Jaime!
En la primera mesa sin importar el orden podrán estar combinaciones de kn tomados de n en n, en la segunda combinaciones de (k-1)n tomados de n en n y así sucesivamente hasta llegar a combinaciones de n tomadas de n en e
Las combinaciones posibles son el producto de estas
$$\begin{align}&\frac{(kn)!}{n!·[(k-1)n]!}·\frac{[(k-1)n]!}{n!·[(k-2)n]!}·\frac{[(k-2)n]!}{n![(k-3)n]!}····\frac{(1·n)!}{n!·0!}\\&\\&\text{vemos que los factores }[(k-i)n! \\&\text{de los denominadores se cancelan con el numerador}\\&\text{siguiente, por lo cual esto es}\\&\\&\frac{(kn)!}{(n!)^k·0!}=\frac{(kn)!}{(n!)^k}\\&\\&\text{Y ahora vamos a multiplicar para tener en cuenta el orden }\\&\text{dentro de cada mesa.}\\&\text{Cada mesa se puede ordenar de permutaciones circulares}\\&\text {de n formas}\\&PC_n=(n-1)!\\&\\&\text{Luego con los mismos comensales por mesa podríamos}\\&\text {ponerlos de estas formas}\\&[(n-1)!]^k\\&\\&\text{Y ya las formas cambiando lugares y grupos son}\\&\\&\frac{(kn)!}{(n!)^k}·[(n-1)!]^k=(kn)!·\left(\frac{(n-1)!}{n!}\right)^k=\\&\\&(kn)!·\left(\frac 1n \right)^k= \frac{(kn)!}{n^k}\end{align}$$Mira que listos, lo habían hecho bien.
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Espera, que es mucho más fácil.
Primero calculamos las formas que habría poníendolos en línea, serían
(Nk)!
Y luego dividimos por las veces que se repite cada posición como consecuencia de ponerlos en mesas redondas.
En cada mesa hay n posiciones que son la misma, la original y las n-1 que se obtinen girando a todos los miembros un lugar, dos lugares,..., n-1 lugares.
Entonces en k mesas las posisciones que son la misma son n^k
Luego el número de posiciones distintas es
(kn!) / n^k
Era mucho más sencillo de l que pensaba y por eso me lié tanto.
Espero haya llegado a tiempo para que adjuntes esta segunda solución.
Saludos.
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