Análisis combinatorio: funciones generatrices: Como resolver los siguientes ejercicios
- Encuentra el coeficiente de x^7 en (1+x+x^2+x^3+x^4+⋯)^15.
- Determina la constante en (3x^2-(2/x))^15
1 Respuesta
Suponiendo que llegaran hasta x^7 o más
Las formas serán las de sumar 7 con enteros no negativos entre 15 sumandos
y_1 + y_2 + ... + y_15 = 7
CR(15,7) = C(15+7-1, 7) = C(21,7) = 21! / (14!·7!) = 116280
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Determina la constante en (3x^2-(2/x))^15
No entiendo la pregunta.
¿Me lo explicas?
En esta sección conocerás el concepto de función generatriz y analizarás algunos ejemplos
Definición. Sea ?0, ?1, ?2, … una sucesión de números reales. La función
?(?) = ?0 + ?1? + ?2?+ ⋯ = ∑??? ? ∞ ?=0.
Ejemplo. En la sección 1.3.3 revisaste la identidad binomial, de la cual puedes obtener fácilmente que si ? ∈ ℕ, (1 + ?) ? = {n}{k} + {?} {1} ? + { ?}{ 2} ?^ 2 + ⋯ + {?}{ ?} ?^n = ∑{ ?} {? } ∞ ?=0 ? ? Observa que {?} {?}= 0 ∀? > ?, así que ?(?) = (1 + ?) ? es la función generatriz de la sucesión {?}{ 0}, { ?}{ 1}, {?}{ 2}, … , { ?} {?} , 0,0,0, …
Ejemplo. En la sección 1.2.1 recordaste la serie geométrica, en sus versiones finita e infinita. La suma finita, si |?| < 1: |sum_{i=1}{n}x^2=1-x^n+1/1-x ?? ? ∈ ℕ Entonces ?(?) = 1−?^?+1/ 1−? es la función generatriz de la sucesión 1,1,1,…1,0,0,0,… con los primeros ? + 1 términos iguales a 1 y después una infinidad de 0’s. La serie infinita, si |?| < 1: 1sum_{i=0}{∞}x^i= 1/ 1 − ?
Entonces ?(?) = 1 1−? es la función generatriz de la sucesión 1,1,1,… Con estos resultados podemos obtener otros inmediatos:
a. la función generatriz de la sucesión 1,7,21,35,35,21,7,1,0,0,0,… es ?(?) = (1 + ?) 7
b. la función generatriz de la sucesión 1,1,0,1,1,1,… es ?(?) = 1 1−? − ?^ 2 observa que estamos usando el hecho de que ?(?) = 1 /1−? es la función generatriz de la sucesión 1,1,1,1,1,…
c. la sucesión 1,1,1,3,1,1,1,… es generada por la función ℎ(?) = 1 1−? + 2?^ 3
d. la sucesión asociada a la función generatriz ?(?) = (1 − ?) 3 es 1,-3,3,-1,0,0,0,…
e. la sucesión asociada a la función ?(?) = (? + ?^ 2 + ?^ 3 + ?^ 4 ) + (1 − 3? + 3?^ 2 − ?^ 3 ) es 1,-2,4,0,1,0,0,0,… (sugerencia: efectúa la suma y agrupa términos semejantes) En la primera unidad estudiaste la definición clásica del coeficiente binomial: Si ?, ? ∈ ℕ ∪ {0} ? 0 ≤ ? ≤ ? ⇒ {n}{r} = ?!/ ?! (?− ?)! Queremos ahora extenderla para el caso en que ?, ? ∈ ℤ, para esto, observa que: ?!/ ?! (? − ?)! = [?(? − 1)(? − 2) … (? − ? + 1)]/ ?! Únicamente eliminamos factores comunes en numerador y denominador. Así, definimos: Si ?, ? ∈ ℕ ? 0 ≤ ? ≤ �
{−?} {?} = [−?(−? − 1)(−? − 2)… (−? − ? + 1)]/ ?! = (−1) ^r (?)(? + 1)(? + 2) … (? ∓ ? − 1)/r!=(−1)^r (? + ? − 1)!/ (? − 1)! ?! = (−1) ^? { ? + ? − 1}{ ?}
Ejemplo. ¿Cuál es el coeficiente de ?^ 5 en (1 + 3?)^ −8? Haciendo ? = 3? y usando el resultado expuesto en el ejemplo anterior, tenemos: (1 + 3?)^ −8 = (1 + ?) ^−8 = =|sum_{r=0}{∞}{-8}{r}y^r=|sum_ {?=0}{∞}{-8}{r} (3?)^ ? Entonces, el coeficiente buscado es el del sumando correspondiente a ? = 5, es decir, {−8} {5} 3^ 5 = (−1) ^5 { 8 + 5 − 1}{ 5} 3^ 5 = − { 12 5} {243} = −792 Ejemplo.
Esta es la información que me proporcionan. Espero me entienda en la captura de las operaciones.
Saludos.
Lo he leído, pero casi me muero para interpretarlo porque las fórmulas no salen bien. Si esto es un documento PDF o DOC mejor mándamelo a
O si son paeles los podrías escanear o fotografíar y mandas la imagen.
De todas formas sigo sin entender lo que piden en el apartado b)... ¡Ah, supongo que quieren decir el coeficiente de x^0!
Pero mejor intenta mandarme primero los apuntes de forma que se vean bien.
Saludos.
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Bien pues, la constante será el coeficiente que arroje x^0 en
$$\begin{align}&\left(3x^2-\frac 2x\right)^{15}\\&\\&\text{sabemos que la fórmula del binomio es}\\&\\&(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom ni a^{n-i}b^i\\&\\&\text{Debemos encontrar el i tal que}\\&\\& \binom ni a^{n-i}b^i= \binom ni ·k·x^0\\&\\&\binom{15}{i}(3x^2)^{15-i}·\left(\frac{2}{x}\right)^i=\\&\\&\binom{15}{i}3^{15-i}·x^{30-2i}·2^i·x^{-i}=\\&\\&\binom{15}{i}3^{15-i}·2^i·x^{30-2i-i}=\\&\\&\text{como debe ser }x^0\\&\\&30-2i-i = 0\\&30 = 3i\\&i=10\\&\\&\text{con lo cual sera}\\&\\&=\binom{15}{10}·3^{15-10}·2^5=\\&\\&\binom{15}{10}·3^{5}·2^5= \binom{15}{10}6^5=\\&\\&\frac{15!}{10!·5!}·7776=23351328\\&\end{align}$$Si que sabía hacer el ejercicio antes de los apuntes pero no entendía la pregunta. De todas formas procura pasármelos de modo que sean legibloes.
