Como puedo saber la ecuación
Las ganancias “G” (en miles dólares) de una empresa está dada por: G = 500 + 2x – 0.006x2
Donde “x” es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad.
- Si la empresa tiene una ganancia de 640 (en miles de dólares), ¿cuánto gastó en publicidad?
- c) ¿Qué ganancia tendría la empresa si gastara 300 (en miles de dólares) en publicidad?
- d) Encuentra la cantidad “x” que la empresa tiene que pagar para maximizar su ganancia, señalando cuál es esta máxima ganancia.
2 respuestas
Ante todo, interpreto 0.006x2 como
$$\begin{align}&0.006 · x^2\end{align}$$Cuando escribo r2(x) es raíz cuadrada de x.
Aplicamos la fórmula de las ecuaciones de segundo grado
$$\begin{align}&|\frac{-B+-\sqrt{(B^2-4AC)}}{2A}\end{align}$$1. Si G=640 entonces 640 = 500 + 2x - 0.006x^2 --> - 0.006x^2 + 2x - 140 = 0
x1 = (-2 + r2(4-4·140·0.006))/-0.012 = (-2 + 0.8)/-0.012 = 100 mil dólares
x2 = (-2 - 0.8)/-0.012 = 233,33 mil dólares
2. Si x=300 entonces G = 500 + 600 - (0.006·300^2) = 1100 - 540 = 560 mil de dólares
3. El elemento A (0.006) es negativo, por lo que encontraremos el máximo aplicando la fórmula C-(B^2/4A). Y = 500-(2^2/4·(-0.006)) = 500 - (4/(-0.024)) = 500 - (-166,66...) = 666,6666666... mil dólares (Ganancia)
Te dejo a ti que calcules la X, que se resuelve de la misma manera que el punto 1, pero en lugar de usar 640 usa esa ganancia.
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¡Hola Saarahi!
Los exponentes deben ir precedidos del símbolo ^
G = 500 + 2x – 0.006x^2
1)
Sustituimos G por 640 y calculamos x
$$\begin{align}&640 = 500 + 2x – 0.006x^2\\&\\&0.006x^2 -2x +140 = 0\\&\\&x= \frac{2\pm \sqrt{4-4·0.006·140}}{2·0.006}=\\&\\&\frac{2\pm \sqrt{4-3.36}}{0.012}=\frac{2\pm 0.8 }{0.012}\\&\\&x_1=233.33\, miles\\&x_2= 100.00\, miles\end{align}$$La verdad es que las dos respuestas sirven. Pero esperemos que no sean tontos y hayan gastado solo $100000.
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1.c)
La calcularemos sustituyendo x por 300
G(300) = 500 + 2·300 – 0.006·300^2=
500 + 600 - 0.006·90000 =
1100 - 540 = 560 miles = $560000
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1d)
El método general para calcular máximos y mínimos es el de la derivadas. Que por ser parábolas se pueda usar la fórmula del vértice es algo que a lo mejor sirve para los muy matemáticos, pero no es lo que se enseña a los economistas.
Derivaremos la función y la igualaremos a 0
$$\begin{align}&G'(x) = 2-0.012x=0\\&\\&0.012x = 2\\&\\&x= \frac{2}{0.012}= 166.666...\\&\\&\text{Y el metodo general para saber si es máximo o}\\&\text{mínimo es el de la derivada segunda aunque }\\&\text{muchas veces hay otros}\\&\\&G''(x)=-0.012\\&\\&\text{luego es un máximo, y su valor es}\\&\\&G(166.666...) = 500+2·166.666...-0.006·166.666...^2=\\&\\&500+ 333.333...- 166.666... =666.666...miles\\&\\&\text{Si hacemos el redondeo correcto es}\\&\\&$666666.67\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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